Calcule as derivadas:
f(x)=e^{2 x^{2}} \cdot \ln \left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f. A função dada é
f(x)=e^{2 x^{2}} \cdot \ln\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right).
O que precisamos encontrar é f'(x). Informação útil sobre domínio: como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, o argumento do \ln é positivo e a derivada está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando uma identidade de logaritmo. Lembrando que \ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right)=-\ln(A), temos
\ln\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right) = -\ln(x^{2}+1).
Portanto podemos reescrever f de forma mais simples:
f(x) = -\,e^{2 x^{2}}\,\ln(x^{2}+1).

Passo 3

Agora percebemos que f é produto de duas funções (uma com sinal negativo): vamos definir
u(x) = -\,e^{2 x^{2}} \qquad\text{e}\qquad v(x)=\ln(x^{2}+1).
Para derivar um produto usamos a regra do produto: se F(x)=U(x)\,V(x) então
F'(x)=U'(x)\,V(x)+U(x)\,V'(x).
Aqui U'(x) e V'(x) são as derivadas de U e V. Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente usando a regra da cadeia quando necessário.

Passo 4

Derivada de u(x) = -\,e^{2 x^{2}}.
Usamos a regra da cadeia: se w(x)=e^{g(x)} então w'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g(x)=2x^{2}, então g'(x)=4x. Assim
\frac{d}{dx}\big(e^{2x^{2}}\big)=e^{2x^{2}}\cdot 4x = 4x\,e^{2x^{2}}.
Como u(x)=-e^{2x^{2}}, temos
u'(x) = -\,4x\,e^{2x^{2}}.
Derivada de v(x)=\ln(x^{2}+1).
Usamos a regra da cadeia para logaritmo: se v(x)=\ln(t(x)) então v'(x)=\dfrac{t'(x)}{t(x)}.
Aqui t(x)=x^{2}+1 e t'(x)=2x. Portanto
v'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), substituímos as derivadas encontradas:
f'(x)=\big(-4x\,e^{2x^{2}}\big)\,\ln(x^{2}+1) + \big(-e^{2x^{2}}\big)\,\frac{2x}{x^{2}+1}.
Podemos escrever explicitamente:
f'(x) = -4x\,e^{2x^{2}}\,\ln(x^{2}+1) - \frac{2x\,e^{2x^{2}}}{x^{2}+1}.

Passo 6

Vamos fatorar termos comuns para deixar a resposta mais limpa e fácil de usar na prova. Note que em ambos os termos aparece o fator -2x\,e^{2x^{2}}. Fatorando:
f'(x) = -2x\,e^{2x^{2}}\left(2\ln(x^{2}+1) + \frac{1}{x^{2}+1}\right).
Essa forma é compacta e mostra claramente a dependência em x.

Resposta

f'(x) = -2x\,e^{2x^{2}}\left(2\ln(x^{2}+1) + \dfrac{1}{x^{2}+1}\right)

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