Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. A função dada é
O que precisamos encontrar é
. Informação útil sobre domínio: como
para todo
, o argumento do
é positivo e a derivada está bem definida para todo
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão usando uma identidade de logaritmo. Lembrando que
, temos
Portanto podemos reescrever
de forma mais simples:
Passo 3
Agora percebemos que
é produto de duas funções (uma com sinal negativo): vamos definir
Para derivar um produto usamos a regra do produto: se
então
Aqui
e
são as derivadas de
e
. Vou calcular
e
separadamente usando a regra da cadeia quando necessário.
Passo 4
Derivada de
.
Usamos a regra da cadeia: se
então
.
Aqui , então
. Assim
Aqui
Como
, temos
Derivada de
.
Usamos a regra da cadeia para logaritmo: se
então
.
Aqui e
. Portanto
Aqui
Passo 5
Aplicando a regra do produto
, substituímos as derivadas encontradas:
Podemos escrever explicitamente:
Passo 6
Vamos fatorar termos comuns para deixar a resposta mais limpa e fácil de usar na prova. Note que em ambos os termos aparece o fator
. Fatorando:
Essa forma é compacta e mostra claramente a dependência em
.