Uma urna contém três bolas numeradas ( 1,2 e 3 ).
Considere agora outro experimento no qual a primeira bola será devolvida à urna. Denotamos por Y a soma dos números das bolas selecionadas. Encontre a distribuição de Y e calcule E[Y].

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com as bolas numeradas por 1,2,3 e fazemos duas retiradas com reposição, ou seja, cada retirada é independente e uniforme em 1,2,3. Definimos Y como a soma dos números obtidos nas duas retiradas. O conteúdo aqui é distribuir a soma de duas variáveis independentes uniformes discretas e depois usar a propriedade da esperança.

Passo 2

Sejam X1 e X2 as pontuações da primeira e da segunda retirada. Então
Y = X1 + X2
Cada Xi assume valores em 1,2,3 com P(Xi=j)=tfrac13. Os valores possíveis de Y vão de 2 a 6. Calculamos P(Y=y) enumerando os pares (x1,x2) tais que x1+x2=y:
Para y=2 só há (1,1), logo
P(Y=2)=tfrac13cdottfrac13=tfrac19
Para y=3 (1,2) e (2,1), então
P(Y=3)=2cdottfrac19=tfrac29
Para y=4 (1,3),(2,2),(3,1), logo
P(Y=4)=3cdottfrac19=tfrac39=tfrac13
Para y=5 (2,3) e (3,2), então
P(Y=5)=2cdottfrac19=tfrac29
Para y=6 só há (3,3), daí
P(Y=6)=tfrac19

Passo 3

Para a esperança usamos a linearidade:
E[Y] = E[X1 + X2] = E[X1] + E[X2]
Como Xi é uniforme em 1,2,3,
E[Xi] = 1+2+33 = 2,
logo
E[Y] = 2 + 2 = 4

Resposta

A função massa de probabilidade de Y é
P(Y=2)=tfrac19,
P(Y=3)=tfrac29,
P(Y=4)=tfrac39,
P(Y=5)=tfrac29,
P(Y=6)=tfrac19
E a esperança é
E[Y]=4

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