Uma urna contém três bolas numeradas ( 1,2 e 3 ).
Considere agora outro experimento no qual a primeira bola será devolvida à urna. Denotamos por
a soma dos números das bolas selecionadas. Encontre a distribuição de
e calcule
.
Considere agora outro experimento no qual a primeira bola será devolvida à urna. Denotamos por
Passo 1
O enunciado diz que temos uma urna com as bolas numeradas por
e fazemos duas retiradas com reposição, ou seja, cada retirada é independente e uniforme em
. Definimos
como a soma dos números obtidos nas duas retiradas. O conteúdo aqui é distribuir a soma de duas variáveis independentes uniformes discretas e depois usar a propriedade da esperança.
Passo 2
Sejam
e
as pontuações da primeira e da segunda retirada. Então
Cada
assume valores em
com
. Os valores possíveis de
vão de
a
. Calculamos
enumerando os pares
tais que
:
Para só há
, logo
Para há
e
, então
Para há
, logo
Para há
e
, então
Para só há
, daí
Para
Para
Para
Para
Para
Passo 3
Para a esperança usamos a linearidade:
Como
é uniforme em
,
logo
Resposta
A função massa de probabilidade de
é
E a esperança é
E a esperança é