Uma urna contém três bolas numeradas ( 1,2 e 3 ).
Duas bolas serão selecionadas, uma de cada vez, ao acaso e sem reposição da primeira bola. Os números das bolas selecionadas serão anotados. Denotamos pela variável aleatória X a soma dos números anotados. Encontre a distribuição de X e calcule E[X].

Passo 1

O enunciado descreve uma urna com três bolas numeradas 1, 2 e 3. Extraímos duas bolas sem reposição, anotando em ordem os números e definimos a variável aleatória X como a soma desses dois números. O objetivo é obter a distribuição de probabilidade de X e calcular E[X]. Para isso vamos usar conceitos de espaço amostral discreto equiprovável e definição de esperança em variáveis discretas.

Passo 2

Primeiro, definimos o espaço amostral ordenado Omega de todas as extrações possíveis (sem reposição e em ordem):
Omega = (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)
Como todas as extrações são igualmente prováveis e há lvertOmegarvert=6 pontos, cada ponto tem probabilidade
P(omega)=16, omegainOmega

Passo 3

Em seguida, associamos a cada ponto omega=(i,j) o valor de X, que é a soma i+j. Listando:
(1,2)mapsto 3, (2,1)mapsto 3; (1,3)mapsto 4, (3,1)mapsto 4; (2,3)mapsto 5, (3,2)mapsto 5
Logo os valores possíveis de X são 3, 4 e 5.

Passo 4

Para cada valor xin3,4,5 contamos quantos pontos do espaço amostral geram esse x e dividimos por 6:
P(X=3)=26=13, P(X=4)=26=13, P(X=5)=26=13

Passo 5

Finalmente, usamos a definição de esperança de variável discreta:
E[X]=sumx x,P(X=x) =3cdot13+4cdot13+5cdot13 =3+4+53 =4

Resposta

A distribuição de X é
P(X=3)=tfrac13, P(X=4)=tfrac13, P(X=5)=tfrac13,
e
E[X]=4

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