Determine o valor das integrais definidas abaixo: (40 pontos)
\int_{0}^{3} \frac{d x}{\left(1-x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \int_{0}^{3}\frac{dx}{1-x^{2}}.
O conteúdo é integral imprópria, pois o integrando tem descontinuidade em x=1. Vamos verificar a convergência dividindo em partes.

Passo 2

Note que há pólo em x=1. Logo, escrevemos
\int_{0}^{3}\frac{dx}{1-x^{2}} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{1-x^{2}} + \int_{1}^{3}\frac{dx}{1-x^{2}}
e tratamos cada uma como integral imprópria, tomando limites apropriados.

Passo 3

Fazemos frações parciais:
\frac{1}{1-x^{2}} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\Bigr).
Integrando,
\int\frac{dx}{1-x^{2}} =\frac12\bigl(-\ln|1-x|+\ln|1+x|\bigr)+C =\frac12\ln\Bigl|\frac{1+x}{1-x}\Bigr|+C.
Definimos a primitiva
F(x)=\frac12\ln\Bigl|\frac{1+x}{1-x}\Bigr|.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{1-x^{2}}:
\int_{0}^{1}\frac{dx}{1-x^{2}} =\lim_{b\to1^-}\bigl[F(b)-F(0)\bigr] =\lim_{b\to1^-}\Bigl[\frac12\ln\frac{1+b}{1-b} -\frac12\ln\frac{1+0}{1-0}\Bigr].
Como \ln\frac{1+b}{1-b}\to+\infty quando b\to1^-, esta parte diverge para +\infty.

Passo 5

Para \displaystyle \int_{1}^{3}\frac{dx}{1-x^{2}}:
\int_{1}^{3}\frac{dx}{1-x^{2}} =\lim_{a\to1^+}\bigl[F(3)-F(a)\bigr] =\lim_{a\to1^+}\Bigl[\frac12\ln\frac{1+3}{3-1} -\frac12\ln\frac{1+a}{a-1}\Bigr].
Aqui \ln\frac{1+a}{a-1}\to+\infty para a\to1^+, logo esta parte diverge para -\infty.

Passo 6

Como a primeira parte tende a +\infty e a segunda a -\infty, não há cancelamento nem convergência conjunta.

Resposta

A integral imprópria diverge e não possui valor finito.

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