A equação de Van der Waals de n mols de um gás é dada por: ( 20 pontos)
\left(P+\frac{n^{2}}{V^{2}} a\right)(V-n b)=n R T
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule o trabalho W ao se expandir isotermicamente ( T constante) um gás de um volume inicial V_{1} a um volume final V_{f} sabendo que:
d W=P d V

Passo 1

O enunciado dá a equação de Van der Waals para n mols de um gás
\biggl(P + \frac{n^2 a}{V^2}\biggr)\,(V - n b) = n R T
e pede o trabalho
W = \int_{V_1}^{V_f} P\,dV
num processo isotérmico ( T constante). Vamos precisar isolar P em função de V e integrar essa expressão de V_1 até V_f.

Passo 2

Isolamos P na equação de Van der Waals:
P + \frac{n^2 a}{V^2} = \frac{n R T}{V - n b} \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{n R T}{V - n b} \;-\; \frac{n^2 a}{V^2}.

Passo 3

Substituímos P na integral do trabalho
W = \int_{V_1}^{V_f} \Bigl[\frac{n R T}{V - n b} - \frac{n^2 a}{V^2}\Bigr] dV
e separam-se os termos:
W = n R T \int_{V_1}^{V_f} \frac{dV}{V - n b} \;-\; n^2 a \int_{V_1}^{V_f} \frac{dV}{V^2}.

Passo 4

Calculamos cada integral:
  1. \displaystyle \int \frac{dV}{V - n b} = \ln\bigl|V - n b\bigr|.
  2. \displaystyle \int \frac{dV}{V^2} = -\frac{1}{V}.
Logo,
n R T \int_{V_1}^{V_f} \frac{dV}{V - n b} = n R T \bigl[\ln(V_f - n b) - \ln(V_1 - n b)\bigr]
e
n^2 a \int_{V_1}^{V_f} \frac{dV}{V^2} = n^2 a \Bigl[-\frac{1}{V}\Bigr]_{V_1}^{V_f} = n^2 a \Bigl(-\frac{1}{V_f} + \frac{1}{V_1}\Bigr) = n^2 a \Bigl(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_f}\Bigr).

Passo 5

Substituindo de volta em W:
W = n R T \ln\!\frac{V_f - n b}{V_1 - n b} \;-\; n^2 a \Bigl(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_f}\Bigr).
Reescrevendo o segundo termo com sinal invertido no logaritmo, obtemos:
W = n R T \ln\!\frac{V_f - n b}{V_1 - n b} \;+\; n^2 a \Bigl(\frac{1}{V_f} - \frac{1}{V_1}\Bigr).

Resposta

W = n R T \ln\!\frac{V_f - n b}{V_1 - n b} \;+\; a\,n^2\Bigl(\frac{1}{V_f} - \frac{1}{V_1}\Bigr).

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