Determine o valor das integrais definidas abaixo: (40 pontos)
\int_{0}^{\pi / 2} x^{2} \sqrt{\left(1+x^{2}\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2} x^{2}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, combinada com a obtenção de uma primitiva de (1+x^{2})^{3/2}.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = x, \quad dv = x\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int x\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx.
Para achar v, fazemos a substituição w = 1+x^{2}, dw = 2x\,dx, obtendo
v = \int x\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{w}\;dw = \frac{1}{2}\,\frac{2}{3}\,w^{3/2} = \frac{(1+x^{2})^{3/2}}{3}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int x^{2}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx = u v - \int v\,du = x\;\frac{(1+x^{2})^{3/2}}{3} - \int \frac{(1+x^{2})^{3/2}}{3}\;dx.
Logo
\int x^{2}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx = \frac{x\,(1+x^{2})^{3/2}}{3} -\frac{1}{3}\int (1+x^{2})^{3/2}\;dx.

Passo 4

Precisamos de
I = \int (1+x^{2})^{3/2}\;dx.
Fazendo x = \tan\theta, dx = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e \sqrt{1+x^{2}}=\operatorname{sec}\theta, obtemos
I = \int \operatorname{sec}^{5}\theta\;d\theta.
Usando a redução para \int \operatorname{sec}^{n}\theta, chega-se a
I = \frac{x\sqrt{1+x^{2}}\,(2x^{2}+1)}{8} -\frac{1}{8}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) + C.

Passo 5

Substituindo em
\int x^{2}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx = \frac{x\,(1+x^{2})^{3/2}}{3} -\frac{1}{3}\,I,
obtemos como antiderivada
F(x) = \frac{x\sqrt{1+x^{2}}\,(2x^{2}+1)}{8} -\frac{1}{8}\,\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr).

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2} x^{2}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx = F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F(0).
Para x=0 temos F(0)=0. Para x=\tfrac{\pi}{2}:
\sqrt{1+(\tfrac{\pi}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{4+\pi^{2}}}{2}, \quad x+\sqrt{1+x^{2}} = \frac{\pi+\sqrt{4+\pi^{2}}}{2}.
Logo
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\tfrac{\pi}{2}\,\frac{\sqrt{4+\pi^{2}}}{2}\,\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{2}+1\bigr)}{8} -\frac{1}{8}\,\ln\!\Bigl(\frac{\pi+\sqrt{4+\pi^{2}}}{2}\Bigr).
Simplificando o primeiro termo dá
\frac{\pi\,(\pi^{2}+2)\,\sqrt{4+\pi^{2}}}{64},
e o logaritmo pode ser escrito como \ln2 - \ln(\pi+\sqrt{4+\pi^{2}}).

Resposta

\int_{0}^{\pi/2} x^{2}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx = \frac{\pi\,(\pi^{2}+2)\,\sqrt{4+\pi^{2}}}{64} +\frac{1}{8}\,\ln 2 -\frac{1}{8}\,\ln\bigl(\pi+\sqrt{4+\pi^{2}}\bigr).

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