Determine o valor das integrais definidas abaixo: (40 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo principal aqui é integração por partes, combinada com a obtenção de uma primitiva de
.
Passo 2
Aplicamos integração por partes escolhendo
Então
Para achar
, fazemos a substituição
,
, obtendo
Passo 3
Pela fórmula de partes,
Logo
Passo 4
Precisamos de
Fazendo
,
e
, obtemos
Usando a redução para
, chega-se a
Passo 5
Substituindo em
obtemos como antiderivada
Passo 6
Agora avaliamos de
a
:
Para
temos
. Para
:
Logo
Simplificando o primeiro termo dá
e o logaritmo pode ser escrito como
.