1. I=\int \frac{x-8}{x^{3}-4 x^{2}+4 x} d x \
    R: I=\ln \left|\frac{(x-2){3}}{x{2}}\right|+\frac{3}{x-2}+C

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral
I = \int \frac{x-8}{x^{3}-4x^{2}+4x}\,dx
O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais de uma função racional e a integração de cada termo resultante.

Passo 2

Fatoramos o denominador para preparar a decomposição:
x^{3}-4x^{2}+4x = x\,(x^{2}-4x+4) = x\,(x-2)^{2}.
Assim, escrevemos
\frac{x-8}{x\,(x-2)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x\,(x-2)^{2}\) e comparando numeradores, obtemos \[x-8 = A\,(x-2)^{2} + B\,x\,(x-2) + C\,x.
Expandindo:
A\,(x^{2}-4x+4) + B\,(x^{2}-2x) + Cx = (A+B)\,x^{2} +(-4A-2B+C)\,x + 4A.
Igualando coeficientes ao polinômio 0\cdot x^{2} +1\cdot x +(-8), temos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -4A - 2B + C = 1,\\\\ 4A = -8. \end{cases}
Dessa forma A=-2\], \(B=2 e C=-3.

Passo 4

Substituindo na integral,
I = \int\Bigl(-\frac{2}{x} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{(x-2)^{2}}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln\lvert x\rvert,\quad \int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\ln\lvert x-2\rvert,\quad \int -\frac{3}{(x-2)^{2}}\,dx = \frac{3}{x-2}.

Passo 5

Somando tudo e agrupando os logaritmos, obtemos
I = -2\ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-2\rvert + \frac{3}{x-2} + C = \ln\Bigl\lvert\frac{(x-2)^{2}}{x^{2}}\Bigr\rvert + \frac{3}{x-2} + C.

Resposta

I = -2\ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-2\rvert + \frac{3}{x-2} + C \quad\text{ou}\quad I = \ln\Bigl\lvert\frac{(x-2)^{2}}{x^{2}}\Bigr\rvert + \frac{3}{x-2} + C.

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