Determine o valor das integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Aqui vou usar a definição padrão
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é uma função ímpar/pares? Na verdade
é uma função par (pois
e há também o
no denominador, de modo que o quociente fica par). A integral é sobre toda a reta real, e a função decai como
oscilando, o que dá condição de convergência condicional quando elevada à potência 3 (a integral converge).
O objetivo final é obter um número (valor exato) para essa integral.
O objetivo final é obter um número (valor exato) para essa integral.
Passo 2
Escolha do método e ferramentas que vamos usar (explicadas em linguagem simples).
Vou usar propriedades da transformada de Fourier / convolução porque elas transformam produtos no domínio do tempo em convoluções no domínio da frequência, e isso simplifica muito integrais de potências de sinc. Não se preocupe se você nunca usou isso: vou explicar passo a passo as identidades que preciso.
Vou usar propriedades da transformada de Fourier / convolução porque elas transformam produtos no domínio do tempo em convoluções no domínio da frequência, e isso simplifica muito integrais de potências de sinc. Não se preocupe se você nunca usou isso: vou explicar passo a passo as identidades que preciso.
Definições e fatos que usarei (com explicação):
- Definição da transformada de Fourier (convenção que vou usar):
Com essa convenção vale a identidade de inversão
e a propriedade útil
onde o símbolo
denota convolução:
- Outro fato simples e muito útil: para qualquer
,
ou seja, avaliar a transformada em
dá a integral total de
no tempo. Como queremos
, basta calcular
.
Passo 3
Transformada de
— cálculo direto e explicação.
Começo com a identidade elementar (faça essa integral mentalmente ou verifique com integração por partes simples):
Começo com a identidade elementar (faça essa integral mentalmente ou verifique com integração por partes simples):
Dividindo por
obtemos a representação da sinc como integral de exponenciais:
Agora vou usar essa representação para obter a transformada. Aplicando a definição
e trocando a ordem das integrais (justificável aqui por condições de integrabilidade), obtemos
A integral interna
é
vezes a distribuição de Dirac
; de modo informal e prático isso implica que a integral sobre
seleciona
se
está no intervalo
, caso contrário o resultado é zero. Assim obtemos o resultado clássico, escrito de forma prática:
ou seja, a transformada de
é uma função constante igual a
no intervalo
e zero fora (uma “janela” retangular multiplicada por
). Em palavras: sinc no tempo ↔ retângulo (amplitude
, largura
) na frequência.
Passo 4
Aplicar a propriedade da transformada para a potência cúbica e relação com a convolução.
Queremos . Pela propriedade geral para produto de
funções idênticas, temos
Queremos
Isso vem porque cada multiplicação no tempo gera um fator
e uma convolução na frequência; para três fatores o coeficiente é
. Portanto, em particular,
Passo 5
Calcular a convolução tripla no ponto
Calculemos passo a passo:
- Primeiro, a convolução de duas retângulos unitárias é a função triangular conhecida:
(Isto porque a medida da interseção de dois intervalos
é
quando
.)
- Agora convolve essa triangular com
e avalie em zero:
Como
(função par), isso é
Compute essa integral explicitamente:
Portanto
e assim
Passo 6
Juntar todos os fatores e obter o valor da integral.
Voltando à fórmula do Passo 4,
Voltando à fórmula do Passo 4,
Simplificando os fatores de
,
É sempre bom checar se o resultado faz sentido qualitativamente:
é menor que
em módulo, e
; o valor obtido
é menor que
, então é plausível.