Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t)\,dt.
Aqui vou usar a definição padrão
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin t}{t}\quad\text{(com }\operatorname{sinc}(0)=1\text{ por continuidade).}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\operatorname{sinc}(t) é uma função ímpar/pares? Na verdade \operatorname{sinc}(t)=\sin t/t é uma função par (pois \sin(-t)=-\sin t e há também o -t no denominador, de modo que o quociente fica par). A integral é sobre toda a reta real, e a função decai como 1/|t| oscilando, o que dá condição de convergência condicional quando elevada à potência 3 (a integral converge).
O objetivo final é obter um número (valor exato) para essa integral.

Passo 2

Escolha do método e ferramentas que vamos usar (explicadas em linguagem simples).
Vou usar propriedades da transformada de Fourier / convolução porque elas transformam produtos no domínio do tempo em convoluções no domínio da frequência, e isso simplifica muito integrais de potências de sinc. Não se preocupe se você nunca usou isso: vou explicar passo a passo as identidades que preciso.
Definições e fatos que usarei (com explicação):
  • Definição da transformada de Fourier (convenção que vou usar):
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Com essa convenção vale a identidade de inversão
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega
e a propriedade útil
\widehat{f\cdot g}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\,\widehat{f}*\widehat{g}\,(\omega),
onde o símbolo * denota convolução:
(h_1*h_2)(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h_1(\xi)\,h_2(\omega-\xi)\,d\xi.
  • Outro fato simples e muito útil: para qualquer f,
\widehat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt,
ou seja, avaliar a transformada em \omega=0 dá a integral total de f no tempo. Como queremos \int \operatorname{sinc}^3(t)\,dt, basta calcular \widehat{\operatorname{sinc}^3}(0).

Passo 3

Transformada de \operatorname{sinc}(t) — cálculo direto e explicação.
Começo com a identidade elementar (faça essa integral mentalmente ou verifique com integração por partes simples):
\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega = \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{i t} = \frac{2\sin t}{t}.
Dividindo por 2 obtemos a representação da sinc como integral de exponenciais:
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega.
Agora vou usar essa representação para obter a transformada. Aplicando a definição
\widehat{\operatorname{sinc}}(\nu)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sinc}(t)\,e^{-i\nu t}\,dt
e trocando a ordem das integrais (justificável aqui por condições de integrabilidade), obtemos
\widehat{\operatorname{sinc}}(\nu) =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega\right)e^{-i\nu t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\nu-\omega)t}\,dt\right)d\omega.
A integral interna \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\nu-\omega)t}\,dt é 2\pi vezes a distribuição de Dirac \delta(\nu-\omega); de modo informal e prático isso implica que a integral sobre \omega seleciona \omega=\nu se \nu está no intervalo [-1,1], caso contrário o resultado é zero. Assim obtemos o resultado clássico, escrito de forma prática:
\widehat{\operatorname{sinc}}(\nu)=\pi\cdot \mathbf{1}_{[-1,1]}(\nu),
ou seja, a transformada de \operatorname{sinc}(t) é uma função constante igual a \pi no intervalo [-1,1] e zero fora (uma “janela” retangular multiplicada por \pi). Em palavras: sinc no tempo ↔ retângulo (amplitude \pi, largura 2) na frequência.

Passo 4

Aplicar a propriedade da transformada para a potência cúbica e relação com a convolução.
Queremos \int \operatorname{sinc}^3(t)\,dt = \widehat{\operatorname{sinc}^3}(0). Pela propriedade geral para produto de n funções idênticas, temos
\widehat{\operatorname{sinc}^3}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\;\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}}\,(\omega).
Isso vem porque cada multiplicação no tempo gera um fator 1/(2\pi) e uma convolução na frequência; para três fatores o coeficiente é 1/(2\pi)^{2}. Portanto, em particular,
\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sinc}^3(t)\,dt=\widehat{\operatorname{sinc}^3}(0) =\frac{1}{(2\pi)^{2}}\;(\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}})(0).

Passo 5

Calcular a convolução tripla no ponto \omega=0\). Sabemos \(\widehat{\operatorname{sinc}}(\omega)=\pi\cdot 1_{[-1,1]}(\omega)\). Então a convolução tripla vale \[(\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}})(0) =\pi^{3}\,(1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]})(0).
Calculemos passo a passo:
  • Primeiro, a convolução de duas retângulos unitárias é a função triangular conhecida:
(1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]})(\xi)=\begin{cases}2-|\xi|,&|\xi|\le 2,\\\ 0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
(Isto porque a medida da interseção de dois intervalos [-1,1]\] e \([\xi-1,\xi+1] é 2-|\xi| quando |\xi|\le2.)
  • Agora convolve essa triangular com 1_{[-1,1]} e avalie em zero:
(1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]})(0) =\int_{-\infty}^{\infty} (1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]})(\xi)\,1_{[-1,1]}(-\xi)\,d\xi.
Como 1_{[-1,1]}(-\xi)=1_{[-1,1]}(\xi) (função par), isso é
\int_{-1}^{1} (2-|\xi|)\,d\xi.
Compute essa integral explicitamente:
\int_{-1}^{1} (2-|\xi|)\,d\xi = 2\int_{0}^{1} (2-\xi)\,d\xi =2\left[2\xi-\tfrac{1}{2}\xi^{2}\right]_{0}^{1} =2\left(2-\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot \tfrac{3}{2}=3.
Portanto
(1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]}*1_{[-1,1]})(0)=3,
e assim
(\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}})(0)=\pi^{3}\cdot 3=3\pi^{3}.

Passo 6

Juntar todos os fatores e obter o valor da integral.
Voltando à fórmula do Passo 4,
\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sinc}^3(t)\,dt =\frac{1}{(2\pi)^{2}}\;(\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}}*\widehat{\operatorname{sinc}})(0) =\frac{1}{4\pi^{2}}\cdot 3\pi^{3}.
Simplificando os fatores de \pi,
\frac{1}{4\pi^{2}}\cdot 3\pi^{3}=\frac{3\pi}{4}.
É sempre bom checar se o resultado faz sentido qualitativamente: \operatorname{sinc}^3 é menor que \operatorname{sinc} em módulo, e \int \operatorname{sinc}(t)\,dt=\pi; o valor obtido \tfrac{3\pi}{4} é menor que \pi, então é plausível.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{4}

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