Determine o valor da integral definida integral(raizx+1-1x+1x^2+sen x-e^x) d x
Escolha uma opção:
23 x^32+x-ln |x|+1x+cos x+e^x+C
23 x^32+x-ln |x|+1x+cos x-e^x+C
23 x^32+x-ln |x|-1x-cos x-e^x+C
23 x^32+x+ln |x|-1x-cos x+e^x+C
Nenhuma das demais alternativas
23 x^32+x+ln |x|+1x-cos x-e^x+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para encontrar o valor da integral definida de $ \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \sin x - e^{x} $ em relação a $ x $. A matéria que estamos lidando aqui é a Cálculo Integral, e vamos precisar aplicar as regras básicas de integrais para funções polinomiais, racionais e trigonométricas, além das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes menores, integrando cada termo individualmente. Lembre-se que a integral de uma soma é a soma das integrais. Então, teremos:
integral ( raizx + 1 - 1x + 1x^2 + sin x - e^x ) dx = integral raizx , dx + integral 1 , dx - integral 1x , dx + integral 1x^2 , dx + integral sin x , dx - integral e^x , dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de $ \sqrt{x} $:
    raizx
  2. Integral de $ 1 $:
    raizx = x^12 integral x^12 , dx = 23 x^32 + C
  3. Integral de $ -\frac{1}{x} $:
    1
  4. Integral de $ \frac{1}{x^{2}} $:
    integral 1 , dx = x + C
  5. Integral de $ \sin x $:
    -1x
  6. Integral de $ -e^{x} $:
    integral -1x , dx = -ln |x| + C

Passo 4

Agora, vamos somar todas as integrais que calculamos:
23 x^32 + x - ln |x| - 1x - cos x - e^x + C

Resposta

A integral definida é:
23 x^32 + x - ln |x| - 1x - cos x - e^x + C
Portanto, a opção correta é:
23 x^32+x-ln |x| - 1x - cos x - e^x+C

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