Prove que lim x 0 x^4 cos 2x=0.

Passo 1

Neste exercício vamos provar que limxto0 x^4cos2x=0. O conteúdo principal é limites de funções e, mais especificamente, o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Para resolver, vamos usar que a função cosseno é sempre limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos que para todo xneq0 vale
-1 <= cos2x <= 1
Como x^4>=0 para todo x, multiplicamos a desigualdade inteira por x^4 sem inverter os sinais:
-x^4 <= x^4cos2x <= x^4

Passo 3

Agora, calculamos os limites das funções que formam as “bordas” do confronto quando xto0:
limxto0(-x^4)=0,limxto0x^4=0
Pelo Teorema do Confronto, se uma função fica sempre entre duas outras cujos limites são iguais, então o limite da função intermediária é o mesmo. Logo,
limxto0x^4cos2x=0

Resposta

0

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