Prove que
.
Passo 1
Neste exercício vamos provar que
. O conteúdo principal é limites de funções e, mais especificamente, o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Para resolver, vamos usar que a função cosseno é sempre limitada entre
e
.
Passo 2
Sabemos que para todo
vale
Como
para todo
, multiplicamos a desigualdade inteira por
sem inverter os sinais:
Passo 3
Agora, calculamos os limites das funções que formam as “bordas” do confronto quando
:
Pelo Teorema do Confronto, se uma função fica sempre entre duas outras cujos limites são iguais, então o limite da função intermediária é o mesmo. Logo,
Resposta
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