Calcule \frac{\partial z}{\partial s}, \frac{\partial z}{\partial t}, se z=x^{2}+y^{2} ; x=s-t ; y=s+t

Passo 1

O que o problema pede: calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}.
Informações dadas:
z = x^{2} + y^{2},
x = s - t,
y = s + t.
O objetivo é obter \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t} em função de s e t.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): derivada parcial e regra da cadeia.
  • A derivada parcial \frac{\partial z}{\partial s} mede como z varia quando alteramos s mantendo t fixo. Analogamente para \frac{\partial z}{\partial t}.
  • Como z é dada em termos de x e y, e x,y dependem de s,t, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A forma da regra da cadeia (para este caso) é:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}.
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z tratando y como constante, e \frac{\partial x}{\partial s} é a derivada de x tratando t como constante, etc.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais parciais intermediárias de z em relação a x e y.
Como z=x^{2}+y^{2},
\frac{\partial z}{\partial x}=2x,
\frac{\partial z}{\partial y}=2y.
Expliquei: ao derivar x^{2} em relação a x obtemos 2x; ao derivar y^{2} em relação a y obtemos 2y.

Passo 4

Calcule as derivadas de x e y em relação a s e t.
Dado x=s-t e y=s+t,
\frac{\partial x}{\partial s}=1,\quad \frac{\partial x}{\partial t}=-1,
\frac{\partial y}{\partial s}=1,\quad \frac{\partial y}{\partial t}=1.
Expliquei: derivando s-t em relação a s tratamos t como constante, então fica 1; em relação a t vem -1. Para y ambos dão 1.

Passo 5

Aplique a regra da cadeia montada no Passo 2 usando os resultados dos Passos 3 e 4.
Para \frac{\partial z}{\partial s}:
\frac{\partial z}{\partial s}=(2x)\cdot(1)+(2y)\cdot(1)=2x+2y=2(x+y).
Substituíndo x e y em termos de s,t (usando x=s-t e y=s+t):
2(x+y)=2\big((s-t)+(s+t)\big)=2(2s)=4s.
Para \frac{\partial z}{\partial t}:
\frac{\partial z}{\partial t}=(2x)\cdot(-1)+(2y)\cdot(1)=-2x+2y=2(y-x).
Substituíndo x e y:
2(y-x)=2\big((s+t)-(s-t)\big)=2(2t)=4t.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova): primeiro simplificar z substituindo x e y e depois derivar. Fazendo isso:
z=(s-t)^{2}+(s+t)^{2}=s^{2}-2st+t^{2}+s^{2}+2st+t^{2}=2s^{2}+2t^{2}.
Agora derivando:
\frac{\partial z}{\partial s}=4s,\qquad \frac{\partial z}{\partial t}=4t,
o que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia. Isso confirma que os cálculos estão corretos.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial s}=4s\n \frac{\partial z}{\partial t}=4t

Exercícios relacionados