Calcule
, se
Passo 1
O que o problema pede: calcular as derivadas parciais
e
.
Informações dadas:
O objetivo é obter
e
em função de
e
.
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): derivada parcial e regra da cadeia.
- A derivada parcial
mede como varia quando alteramos mantendo fixo. Analogamente para . - Como
é dada em termos de e , e dependem de , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A forma da regra da cadeia (para este caso) é:
Aqui
é a derivada de
tratando
como constante, e
é a derivada de
tratando
como constante, etc.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais parciais intermediárias de
em relação a
e
.
Como ,
Como
Expliquei: ao derivar
em relação a
obtemos
; ao derivar
em relação a
obtemos
.
Passo 4
Calcule as derivadas de
e
em relação a
e
.
Dado e
,
Dado
Expliquei: derivando
em relação a
tratamos
como constante, então fica
; em relação a
vem
. Para
ambos dão
.
Passo 5
Aplique a regra da cadeia montada no Passo 2 usando os resultados dos Passos 3 e 4.
Para
:
Substituíndo
e
em termos de
(usando
e
):
Para
:
Substituíndo
e
:
Passo 6
Verificação alternativa (útil na prova): primeiro simplificar
substituindo
e
e depois derivar. Fazendo isso:
Agora derivando:
o que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia. Isso confirma que os cálculos estão corretos.