Determine o valor da integral integralC 1(z-1)^m+1(z-3) d z onde C é o circulo |z|=r orientado positivamente, m in N e 1.

Passo 1

Temos a integral integralC1(z-1)^m+1(z-3),dz, com Ccolon|z|=r, 1, minN. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos para polos de ordem maior que 1 e vamos usar a fórmula geral de resíduo.

Passo 2

Identificamos as singularidades de f(z)=1/[(z-1)^m+1(z-3)]: há um polo de ordem m+1 em z=1 e um polo simples em z=3. Como 1, só o polo em z=1 está dentro de C. Pelo Teorema dos Resíduos,
integralC f(z),dz = 2pi i;Res(f,1)

Passo 3

Para um polo de ordem n=m+1 em z0=1 vale
Res(f,1)=1m!limzto1d^mdz^ml[(z-1)^m+1f(z)r] = 1m!limzto1d^mdz^ml[1z-3r]

Passo 4

Chamando g(z)=1/(z-3), usamos a fórmula de derivadas de potência:
g^(m)(z)=(-1)^m,m!,(z-3)^-m-1

Passo 5

Assim
g^(m)(1)=(-1)^m,m!,(-2)^-m-1 = -,m!,2^-m-1, e portanto
Res(f,1)=1m!l(-m!,2^-m-1r) = -2^-m-1

Passo 6

Finalmente,
integralC f(z),dz = 2pi il(-2^-m-1r) = -2pi i2^m+1 = -pi i2^m

Resposta

-\frac{\pi i}{2^m}

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