Determine os valores extremos dessa função 2 x^wed>= 2+y^wed>= 2 no círculo x^wed>= 2+y^wed>= 2=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa encontrar os valores extremos dela (máximos e mínimos) dentro de um círculo definido por . Isso faz parte do conteúdo de otimização com restrições, e para resolver vamos precisar usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é super útil quando queremos otimizar uma função sujeita a uma condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que a variação da nossa função nabla f = lambda nabla g deve ser proporcional à variação da restrição . Matemáticamente, isso fica:
Onde e são os vetores gradiente das funções e , respectivamente, e é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (4x, 2y)
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y ) = (2x, 2y)
A equação 4x = lambda cdot 2x (1) nos dá:
2y = lambda cdot 2y (2)
x^2 + y^2 = 1 (3)
E não podemos esquecer da restrição:

Passo 4

Vamos analisar as equações:
Da equação (1):
  • Se lambda = 2 , podemos dividir ambos os lados por 2y = 2 lambda y Rightarrow lambda = 1 se y neq 0 :
Da equação (2):
Então, temos duas possibilidades:
  1. :
    • A partir da restrição , temos .
  2. :
    • Da restrição, , então .

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores da função f(0, 1) = 2(0)^2 + (1)^2 = 1 nos pontos encontrados:
  1. Para f(0, -1) = 2(0)^2 + (-1)^2 = 1 :
f(1, 0) = 2(1)^2 + (0)^2 = 2
  1. Para f(-1, 0) = 2(-1)^2 + (0)^2 = 2 :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os valores extremos da função no círculo são:
  • Máximo: nos pontos e .
  • Mínimo: nos pontos e .

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