Determine os valores extremos dessa função
no círculo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e precisa encontrar os valores extremos dela (máximos e mínimos) dentro de um círculo definido por
. Isso faz parte do conteúdo de otimização com restrições, e para resolver vamos precisar usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é super útil quando queremos otimizar uma função sujeita a uma condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que a variação da nossa função
deve ser proporcional à variação da restrição
. Matemáticamente, isso fica:
Onde
e
são os vetores gradiente das funções
e
, respectivamente, e
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes:
A equação
nos dá:
E não podemos esquecer da restrição:
Passo 4
Vamos analisar as equações:
Da equação (1):
- Se
, podemos dividir ambos os lados por :
Da equação (2):
Então, temos duas possibilidades:
-
: - A partir da restrição
, temos .
- A partir da restrição
-
: - Da restrição,
, então .
- Da restrição,
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores da função
nos pontos encontrados:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os valores extremos da função
no círculo
são:
- Máximo:
nos pontos e . - Mínimo:
nos pontos e .