Determine o valor da integral iterada integral duplaR(e^x+e^y) d y d x, onde R=[0,1] times[0,1], com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(e^x+e^y),dy,dx no quadrado R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo aqui é integração de funções exponenciais em um domínio retangular, e vamos precisar usar o Teorema de Fubini para separar a integral e conhecer as primitivas de e^x e e^y.

Passo 2

Como a região é retangular e a função é soma de termos que dependem separadamente de x e y, podemos usar Fubini e linearidade:
integral duplaR(e^x+e^y),dy,dx = integral0^1integral0^1e^x,dy,dx + integral0^1integral0^1e^y,dy,dx

Passo 3

Na primeira integral, e^x é constante em relação a y, então
integral0^1integral0^1e^x,dy,dx = integral0^1l[e^xyr]y=0^y=1,dx = integral0^1e^x,dx
A primitiva de e^x é e^x, logo
integral0^1e^x,dx = l[e^xr]0^1 = e - 1

Passo 4

Na segunda integral, e^y é constante em relação a x, então
integral0^1integral0^1e^y,dy,dx = integral0^1l[integral0^1e^y,dyr]dx = integral0^1(e - 1),dx = (e - 1)cdot 1 = e - 1

Passo 5

Somando as duas partes, o valor exato é
(e - 1) + (e - 1) = 2(e - 1)
Agora basta aproximar com e approx 2,718281828:
2(e - 1) approx 2times1,718281828 = 3,436563656
Arredondando para três casas decimais, obtemos 3{,}437.

Resposta

3,437

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