Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
x=y^2 e x=y+2

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico das curvas x=y^2 e x=y+2 e calcular a área da região fechada entre elas. Vamos usar integração no eixo y, então antes de tudo precisamos encontrar os pontos em que as duas curvas se encontram.

Passo 2

Para achar a intersecção, igualamos y^2 e y+2:
y^2 = y + 2
que leva a
y^2 - y - 2 = 0
As raízes são
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32implies y = 2;ou;y = -1
Portanto, os limites em y são de -1 a 2.

Passo 3

No esboço, a curva x=y^2 é uma parábola que abre para a direita com vértice em (0,0), e a reta x=y+2 tem inclinação 1 e intercepto em x=2. Elas se cruzam em y=-1 e y=2. Visualmente, entre esses valores de y, a reta fica à direita da parábola.

Passo 4

Para montar a integral de área, para cada y em [-1,2] a largura horizontal é a diferença entre a reta e a parábola. Assim
área = integraly=-1^2 l[(y+2) - y^2r] ,dy á

Passo 5

Agora vamos calcular a integral:
integral-1^2 l(y+2 - y^2r),dy = integral-1^2y,dy + 2integral-1^21,dy - integral-1^2y^2,dy
Calculando cada parte:
integral y,dy = y^22, integral 1,dy = y, integral y^2,dy = y^33
Logo,
[y^22 + 2y - y^33]-1^2
Em y=2 isso é
42 + 4 - 83 = 2 + 4 - 83 = 6 - 83 = 103,
e em y=-1:
12 -2 + 13 = -76
Subtraindo,
103 - l(-76r) = 103 + 76 = 276 = 92

Resposta

tfrac92

Exercícios relacionados