Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
e
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico das curvas
e
e calcular a área da região fechada entre elas. Vamos usar integração no eixo
, então antes de tudo precisamos encontrar os pontos em que as duas curvas se encontram.
Passo 2
Para achar a intersecção, igualamos
e
:
que leva a
As raízes são
Portanto, os limites em
são de
a
.
Passo 3
No esboço, a curva
é uma parábola que abre para a direita com vértice em
, e a reta
tem inclinação 1 e intercepto em
. Elas se cruzam em
e
. Visualmente, entre esses valores de
, a reta fica à direita da parábola.
Passo 4
Para montar a integral de área, para cada
em
a largura horizontal é a diferença entre a reta e a parábola. Assim
Passo 5
Agora vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Logo,
Em
isso é
e em
:
Subtraindo,