Calcule a área sob o gráfico de cada função no intervalo dado.
Passo 1
No enunciado temos a função definida no intervalo . O objetivo é calcular a área sob o gráfico, isto é, a região entre a curva e o eixo . Vamos usar integração definida e considerar partes onde muda de sinal.
Passo 2
Para calcular a integral definida precisamos de uma antiderivada de . Como , podemos verificar que
é uma primitiva porque ao derivar obtemos . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
Passo 3
Precisamos ver onde muda de sinal para separar os intervalos de área. Fatorando :
logo as raízes são .
Passo 4
Calculamos a integral em cada subintervalo onde mantém sinal:
Para :
Para :
Passo 5
Como na região a integral é negativa, tomamos o valor absoluto para obter a área geométrica. Assim a área total é
Resposta
A área sob o gráfico de f(x)=x^3 - x no intervalo [-1,1] é tfrac12.