Calcule a área sob o gráfico de cada função no intervalo dado.
f(x)=x^3-x ;[-1,1]

Passo 1

No enunciado temos a função f(x)=x^3 - x definida no intervalo [-1,1]. O objetivo é calcular a área sob o gráfico, isto é, a região entre a curva e o eixo x. Vamos usar integração definida e considerar partes onde f muda de sinal.

Passo 2

Para calcular a integral definida precisamos de uma antiderivada de f(x). Como f(x)=x^3 - x, podemos verificar que
F(x)=x^44-x^22
é uma primitiva porque ao derivar F(x) obtemos f(x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
integrala^b f(x),dx=F(b)-F(a)

Passo 3

Precisamos ver onde f(x) muda de sinal para separar os intervalos de área. Fatorando f(x):
f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1),
logo as raízes são x=-1,0,1.

Passo 4

Calculamos a integral em cada subintervalo onde f mantém sinal:
Para [-1,0]:
integral-1^0f(x),dx=F(0)-F(-1)=0-l((-1)^44-(-1)^22r)=0-l(tfrac14-tfrac12r)=tfrac14
Para [0,1]:
integral0^1f(x),dx=F(1)-F(0)=l(1^44-1^22r)-0=l(tfrac14-tfrac12r)=-tfrac14

Passo 5

Como na região [0,1] a integral é negativa, tomamos o valor absoluto para obter a área geométrica. Assim a área total é
l|tfrac14r|+l| -tfrac14r|=tfrac14+tfrac14=tfrac12

Resposta

A área sob o gráfico de f(x)=x^3 - x no intervalo [-1,1] é tfrac12.

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