Encontre a derivada da função dada usando a definição. Ache um ou vários pontos sobre o gráfico da função em que a reta tangente é paralela à reta dada: f(x)=x^22-1 ; 3 x-y=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^22-1 usando a definição de derivada (limite do quociente incrementa
) e, em seguida, encontrar pontos do gráfico onde a reta tangente é paralela à reta 3x-y=1. Vamos precisar da definição de derivada e do conceito de inclinação de reta.

Passo 2

Usando a definição de derivada, escrevemos
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Substituindo f(x)=tfracx^22-1 na expressão, temos
f(x+h)-f(x)h=l((x+h)^22-1r)-l(x^22-1r)h

Passo 4

Agora expandimos (x+h)^2=x^2+2xh+h^2 e simplificamos o numerador:
l(tfracx^2+2xh+h^22-1r)-l(tfracx^22-1r)=2xh+h^22

Passo 5

Então o quociente fica
2xh+h^22h=h(2x+h)2h=2x+h2

Passo 6

Tomando hto0, obtemos
f'(x)=limhto02x+h2=2x2=x

Passo 7

Portanto, f'(x)=x. A reta 3x-y=1 tem inclinação m=3, pois podemos reescrevê-la como y=3x-1.

Passo 8

Para que a reta tangente a f seja paralela, precisamos de f'(x)=3. Logo
x=3

Passo 9

O ponto correspondente no gráfico de f é
l(3,f(3)r)=l(3,tfrac3^22-1r)=l(3,tfrac92-1r)=l(3,tfrac72r)

Resposta

A derivada é f'(x)=x e a reta tangente é paralela a 3x-y=1 no ponto l(3,tfrac72r).

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