Utilize a definição de derivada para mostrar que a função não é diferenciável no número indicado: f(x)=ll-x+2, & se x <= 2 2 x-4, & se x>2 ; x=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a peça de função
f(x)= -x+2,&x<=2, 2x-4,&x>2
não é diferenciável em x=2, usando a definição de derivada (ou seja, verificando os limites laterais do quociente de diferença).

Passo 2

Precisamos lembrar que a derivada de f em a existe se, e somente se, os limites laterais
limxto a^-f(x)-f(a)x-a e limxto a^+f(x)-f(a)x-a
existirem e forem iguais.

Passo 3

Primeiro calculamos o valor de f(2). Como 2 pertence à parte x<=2, temos
f(2)=-2+2=0
Para a derivada à esquerda ( xto2^-), usamos f(x)=-x+2, então
limxto2^-f(x)-f(2)x-2 =limxto2^-(-x+2)-0x-2 =limxto2^--(x-2)x-2 =-1

Passo 4

Agora a derivada à direita ( xto2^+). Para x>2, f(x)=2x-4, então
limxto2^+f(x)-f(2)x-2 =limxto2^+(2x-4)-0x-2 =limxto2^+2(x-2)x-2 =2

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( -1 e 2), a derivada não existe em x=2.

Resposta

A derivada à esquerda vale -1 e à direita vale 2; como são diferentes, f não é diferenciável em x=2.

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