Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
integral0^3 d x(x-1)^2

Passo 1

Aqui a gente tem uma integral imprópria com singularidade interna em x=1. O conteúdo é de integrais impróprias tipo II (discontinuidade no intervalo) e vamos usar definição via limites para decidir convergência.

Passo 2

Primeiro, dividimos a integral no ponto de descontinuidade:
integral0^3dx(x-1)^2=integral0^1dx(x-1)^2+integral1^3dx(x-1)^2

Passo 3

Em cada parte, definimos limites para tratar o ponto x=1. Para a primeira parte:
integral0^1dx(x-1)^2=limvarepsilonto0^+integral0^1-varepsilondx(x-1)^2

Passo 4

Agora achamos a primitiva de 1/(x-1)^{2}. Sabemos que
ddxl(-1x-1r)=1(x-1)^2

Passo 5

Então
integral0^1-varepsilondx(x-1)^2=l[-1x-1r]0^1-varepsilon =l(-1(1-varepsilon)-1r)-l(-10-1r) =+1varepsilon-1

Passo 6

Ao fazer varepsilonto0^+, o termo 1/varepsilon vai para +∞. Logo essa parte já diverge para +∞.

Passo 7

Para a segunda parte, similarmente:
integral1^3dx(x-1)^2=limde

Passo 8

Como pelo menos uma das partes diverge (na verdade ambas vão para +∞), a integral imprópria original diverge.

Resposta

A integral é divergente (tende a +∞).

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