Calcule a integral dupla
integral duplaD(x-y) d x d y
onde D é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A região é delimitada pelas curvas e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Primeiro, precisamos entender como é a região para definir os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar identificando onde as duas curvas se encontram para saber os limites de x^2 - x - 2 = 0 e . Igualando :

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 , encontramos:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se intersectam nos pontos -1 <= x <= 2 e x^2 <= y <= x + 2 . Para cada valor de entre e , varia de até . Portanto, podemos definir os limites de integração:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integralx=-1^2 integraly=x^2^x+2 (x - y) , dy , dx

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a integraly=x^2^x+2 (x - y) , dy . A integral interna é:
integral (x) , dy - integral y , dy = x(y) - y^22 g|x^2^x+2
Integrando termo a termo:

Passo 7

Substituindo os limites de x(x + 2) - (x + 2)^22 - [ x(x^2) - (x^2)^22 ] :
x^2 + 2x - x^2 + 4x + 42 - x^3 + x^42
Simplificando:

Passo 8

Agora, simplificamos a expressão resultante:
x^2 + 2x - x^22 - 2x - 2 - x^3 + x^42 = x^22 - 2 - x^3 + x^42

Passo 9

Agora, integramos essa expressão em relação a integral-1^2 ( x^22 - 2 - x^3 + x^42 ) dx de 12 cdot x^33 - 2x - x^44 + 12 cdot x^55 g|-1^2 a :
Integrando termo a termo:

Passo 10

Calculando os valores nos limites:
Para 16(8) - 4 - 164 + 110(32) = 43 - 4 - 4 + 3210 = 43 - 8 + 3.2 = 43 - 4.8 = -123 - 43 + 43 = -4 :
16(-1) - (-2) - 14 + 110(-1) = -16 + 2 - 14 - 110 = 2 - 16 - 14 - 110
Para 2 - 0.1667 - 0.25 - 0.1 = 1.4833 :
Calculando os valores:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados