Encontre a equação geral do plano que contém as retas paralelas:
r_{1}:(x, y, z)=(1,2,0)+t(1,1,1)
r_{2}:(x, y, z)=(0,0,1)+s(1,1,1)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
O enunciado pede: encontrar a equação geral do plano que contém as duas retas dadas (ou seja, a forma \,Ax+By+Cz+D=0\, do plano).
Informações fornecidas:
A reta r_{1} é dada por (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,1). Dela extraímos:
um ponto P_{1}=(1,2,0);
um vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,1).
A reta r_{2} é dada por (x,y,z)=(0,0,1)+s(1,1,1). Dela extraímos:
um ponto P_{2}=(0,0,1);
um vetor diretor também \mathbf{v}=(1,1,1) (mesmo vetor diretor).
Observação importante (informação relevante): as duas retas têm o mesmo vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,1), ou seja, são retas paralelas (podem ser coincidentes ou distintas). O enunciado pede o plano que contém ambas.
Passo 2
Plano contendo duas retas paralelas distintas: ideia geométrica e método a usar.
Um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores não colineares que pertencem ao plano.
Aqui já temos um vetor diretor comum \mathbf{v}=(1,1,1) que está contido no plano (pois cada reta está no plano).
Para obter um segundo vetor diretor do plano, uso o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta: \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=P_{2}-P_{1}. Esse vetor está no plano (vai de um ponto do plano a outro ponto do mesmo plano).
Depois, tomo o produto vetorial desses dois vetores diretores para obter um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Com \mathbf{n} e um ponto conhecido basta escrever a equação cartesiana do plano.
Passo 3
Calcular o vetor que liga os pontos P_{1} e P_{2}.