Encontre a equação geral do plano que contém as retas paralelas:
  • r_{1}:(x, y, z)=(1,2,0)+t(1,1,1)
  • r_{2}:(x, y, z)=(0,0,1)+s(1,1,1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado pede: encontrar a equação geral do plano que contém as duas retas dadas (ou seja, a forma \,Ax+By+Cz+D=0\, do plano).
  • Informações fornecidas:
    • A reta r_{1} é dada por (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,1). Dela extraímos:
      • um ponto P_{1}=(1,2,0);
      • um vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,1).
    • A reta r_{2} é dada por (x,y,z)=(0,0,1)+s(1,1,1). Dela extraímos:
      • um ponto P_{2}=(0,0,1);
      • um vetor diretor também \mathbf{v}=(1,1,1) (mesmo vetor diretor).
  • Observação importante (informação relevante): as duas retas têm o mesmo vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,1), ou seja, são retas paralelas (podem ser coincidentes ou distintas). O enunciado pede o plano que contém ambas.

Passo 2

Plano contendo duas retas paralelas distintas: ideia geométrica e método a usar.
  • Um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores não colineares que pertencem ao plano.
  • Aqui já temos um vetor diretor comum \mathbf{v}=(1,1,1) que está contido no plano (pois cada reta está no plano).
  • Para obter um segundo vetor diretor do plano, uso o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta: \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=P_{2}-P_{1}. Esse vetor está no plano (vai de um ponto do plano a outro ponto do mesmo plano).
  • Depois, tomo o produto vetorial desses dois vetores diretores para obter um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Com \mathbf{n} e um ponto conhecido basta escrever a equação cartesiana do plano.

Passo 3

Calcular o vetor que liga os pontos P_{1} e P_{2}.
  • P_{1}=(1,2,0) e P_{2}=(0,0,1).
  • Então
\overrightarrow{P_{1}P_{2}} = P_{2}-P_{1} = (0-1,\;0-2,\;1-0) = (-1,-2,1).

Passo 4

Calcular o vetor normal \mathbf{n} ao plano usando o produto vetorial entre \mathbf{v} e \overrightarrow{P_{1}P_{2}}.
  • Os vetores são \mathbf{v}=(1,1,1) e \mathbf{w}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(-1,-2,1).
  • O produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w} é um vetor perpendicular a ambos. Calcula-se pelo determinante:
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}.
  • Expandindo componente a componente:
    • Componente x: n_x = 1\cdot 1 - 1\cdot(-2) = 1 + 2 = 3.
    • Componente y: n_y = -\big(1\cdot 1 - 1\cdot(-1)\big) = -(1 + 1) = -2.
    • Componente z: n_z = 1\cdot(-2) - 1\cdot(-1) = -2 + 1 = -1.
  • Portanto
\mathbf{n} = (3,-2,-1).

Passo 5

Escrever a equação do plano a partir do vetor normal e de um ponto do plano.
  • A equação vetorial do plano com normal \mathbf{n}=(A,B,C) passando por um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-P_{0}\big)=0.
  • Aqui podemos usar P_{1}=(1,2,0) como ponto e \mathbf{n}=(3,-2,-1). Assim:
(3,-2,-1)\cdot\big((x,y,z)-(1,2,0)\big)=0.
  • Desenvolvendo:
3(x-1)-2(y-2)-1(z-0)=0.
  • Expandindo e simplificando:
3x-3-2y+4-z=0
3x-2y-z+1=0.

Passo 6

Verificações rápidas (para confiança): plugando P_{2} e vendo se o vetor diretor pertence ao plano.
  • Verificar P_{2}=(0,0,1):
3\cdot 0 - 2\cdot 0 - 1 + 1 = 0.
Logo P_{2} satisfaz a equação, está no plano.
  • Verificar que o vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,1) é paralelo ao plano:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 3\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 3-2-1=0.
Logo \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{n} e, portanto, tangente ao plano. As checagens batem: ambas as retas estão no plano encontrado.

Resposta

3x-2y-z+1=0

Exercícios relacionados