Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(1,0,0) e é perpendicular ao plano definido pela equação 2 x-y+3 z-1=0.
Passo 1
O enunciado dá um ponto e um plano e pede a equação da reta que passa por esse ponto e é perpendicular ao plano. Dados fornecidos:
Ponto A(1,0,0).
Equação do plano \;2x - y + 3z - 1 = 0.
O que se quer: a equação da reta que passa por A e é perpendicular ao plano dado.
Passo 2
Entendendo a relação entre a equação do plano e um vetor normal: para um plano escrito na forma
ax + by + cz + d = 0,
os coeficientes (a,b,c) formam um vetor normal ao plano — isto é, um vetor \mathbf{n}=(a,b,c) que é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
Por que isso é verdade (explicação passo a passo e intuitiva): se P e Q são dois pontos quaisquer do plano, então ambos satisfazem ax+by+cz+d=0. Subtraindo as duas equações obtém-se
a(x_Q-x_P)+b(y_Q-y_P)+c(z_Q-z_P)=0,
ou seja,
\mathbf{n}\cdot(\overrightarrow{PQ})=0.
Isso diz que \mathbf{n} é ortogonal a qualquer vetor do plano — por isso \mathbf{n} é chamado de vetor normal.
Passo 3
Aplicando ao plano dado: os coeficientes da equação \;2x - y + 3z - 1 = 0 são a=2, b=-1, c=3. Portanto o vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = (2,-1,3).
Passo 4
Conexão com a reta perpendicular: uma reta perpendicular a um plano tem direção paralela ao vetor normal do plano. Logo podemos escolher como vetor diretor da reta \mathbf{v}=\mathbf{n}=(2,-1,3).
Forma vetorial/paramétrica de uma reta: a reta que passa por um ponto P(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é dada por
\mathbf{r}(t)= (x_0,y_0,z_0) + t(v_1,v_2,v_3),
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui t representa quanto se anda na direção \mathbf{v} a partir do ponto inicial.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso com A(1,0,0) e \mathbf{v}=(2,-1,3): a forma vetorial/paramétrica da reta é
\mathbf{r}(t) = (1,0,0) + t(2,-1,3).
Escrevendo em componentes paramétricas:
x = 1 + 2t,\qquad y = 0 - t = -t,\qquad z = 0 + 3t = 3t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Passo 6
Obter a forma simétrica (eliminação do parâmetro): das equações paramétricas temos
t = \frac{x-1}{2},\qquad t = -y,\qquad t = \frac{z}{3}.
Igualando essas expressões obtemos a forma simétrica da reta: