Determine o valor de
de modo que se verifiquem as seguintes equações:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado apresenta duas equações separadas e pede para determinar os valores de
para os quais existe algum
que satisfaça cada uma. As informações dadas são:
As perguntas são: para que valores de
cada igualdade pode acontecer (ou seja, existe algum
real que torne a igualdade verdadeira)?
Passo 2
Entendimento básico necessário (uso direto aqui): os valores possíveis de
estão todos no intervalo
Isso é uma propriedade fundamental do seno: ele nunca ultrapassa
nem cai abaixo de
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à equação da letra (a): para que exista
tal que
é necessário (e também suficiente) que
Agora vamos resolver essa desigualdade em passos simples.
Passo 4
Resolver a desigualdade do item (a):
Multiplicamos toda a cadeia por . Como
, as direções das desigualdades não mudam, obtendo
Multiplicamos toda a cadeia por
Agora somamos
a todos os termos (operações válidas em desigualdades):
Finalmente dividimos tudo por
. Como
, as desigualdades permanecem:
Conclusão parcial: qualquer
no intervalo
torna a fração
um número entre
e
, portanto existe algum
com
.
Passo 5
Um comentário didático e prático sobre suficiência: o seno atinge todo valor no intervalo
(por exemplo, para qualquer
existe
que dá
). Logo a condição obtida é não só necessária como suficiente — isto é, todo
em
funciona.
Passo 6
Agora para a letra (b): começamos pela propriedade análoga do cosseno. Sabemos que
Assim, para existir
com
é preciso (e suficiente) que
Passo 7
Resolver a desigualdade do item (b):
Multiplicamos por (positivo), obtendo
Multiplicamos por
Subtraímos
de todos os termos:
Dividimos por
(positivo), resultando
Conclusão parcial: qualquer
no intervalo
torna
um número entre
e
, e portanto existe
com
.
Passo 8
Novamente, explicando a suficiência: o cosseno também atinge todos os valores em
, então a condição obtida é tanto necessária quanto suficiente.
Resposta
(a)
(b)
(b)