Determine o valor de k de modo que se verifiquem as seguintes equações:
(a) \operatorname{sen}(x)=\frac{2 k-1}{3}.
(b) \cos (x)=\frac{4 k+1}{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações separadas e pede para determinar os valores de k para os quais existe algum x que satisfaça cada uma. As informações dadas são:
\text{(a)}\quad \operatorname{sen}(x)=\frac{2k-1}{3}.
\text{(b)}\quad \cos(x)=\frac{4k+1}{2}.
As perguntas são: para que valores de k cada igualdade pode acontecer (ou seja, existe algum x real que torne a igualdade verdadeira)?

Passo 2

Entendimento básico necessário (uso direto aqui): os valores possíveis de \operatorname{sen}(x) estão todos no intervalo
-1 \le \operatorname{sen}(x) \le 1.
Isso é uma propriedade fundamental do seno: ele nunca ultrapassa 1 nem cai abaixo de -1.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à equação da letra (a): para que exista x tal que \operatorname{sen}(x)=\dfrac{2k-1}{3} é necessário (e também suficiente) que
-1 \le \frac{2k-1}{3} \le 1.
Agora vamos resolver essa desigualdade em passos simples.

Passo 4

Resolver a desigualdade do item (a):
Multiplicamos toda a cadeia por 3. Como 3>0, as direções das desigualdades não mudam, obtendo
-3 \le 2k-1 \le 3.
Agora somamos 1 a todos os termos (operações válidas em desigualdades):
-2 \le 2k \le 4.
Finalmente dividimos tudo por 2. Como 2>0, as desigualdades permanecem:
-1 \le k \le 2.
Conclusão parcial: qualquer k no intervalo \left[-1,2\right] torna a fração \dfrac{2k-1}{3} um número entre -1 e 1, portanto existe algum x com \operatorname{sen}(x)=\dfrac{2k-1}{3}.

Passo 5

Um comentário didático e prático sobre suficiência: o seno atinge todo valor no intervalo [-1,1] (por exemplo, para qualquer y\in[-1,1] existe x=\arcsin(y) que dá \operatorname{sen}(x)=y). Logo a condição obtida é não só necessária como suficiente — isto é, todo k em \left[-1,2\right] funciona.

Passo 6

Agora para a letra (b): começamos pela propriedade análoga do cosseno. Sabemos que
-1 \le \cos(x) \le 1.
Assim, para existir x com \cos(x)=\dfrac{4k+1}{2} é preciso (e suficiente) que
-1 \le \frac{4k+1}{2} \le 1.

Passo 7

Resolver a desigualdade do item (b):
Multiplicamos por 2 (positivo), obtendo
-2 \le 4k+1 \le 2.
Subtraímos 1 de todos os termos:
-3 \le 4k \le 1.
Dividimos por 4 (positivo), resultando
-\frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4}.
Conclusão parcial: qualquer k no intervalo \left[-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{4}\right] torna \dfrac{4k+1}{2} um número entre -1 e 1, e portanto existe x com \cos(x)=\dfrac{4k+1}{2}.

Passo 8

Novamente, explicando a suficiência: o cosseno também atinge todos os valores em [-1,1], então a condição obtida é tanto necessária quanto suficiente.

Resposta

(a) -1 \le k \le 2
(b) -\dfrac{3}{4} \le k \le \dfrac{1}{4}

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