Exercício 9. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas tangente e cotangente de um ângulo
. Não foi dado valor numérico para
; portanto nosso objetivo é transformar a soma
em uma forma equivalente mais simples (essa forma será o que podemos interpretar como
). Observação importante: para que
e
existam simultaneamente, precisamos ter
e
(vou explicitar isso depois).
Passo 2
Primeiro, lembre as definições da tangente e da cotangente em termos de seno e cosseno. Estas são fórmulas básicas:
Explico devagar:
e
são as razões seno e cosseno; a tangente é seno dividido por cosseno, e a cotangente é o inverso disso.
Passo 3
Substituímos essas definições na soma pedida:
Aqui estamos apenas trocando os nomes por frações para poder manipular com técnica de frações comuns.
Passo 4
Somamos as frações usando denominador comum
. Então:
Expliquei cada passo: coloquei as duas frações sobre o mesmo denominador e somei os numeradores.
Passo 5
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental (identidade de Pitágoras):
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
Portanto já simplificamos a soma para uma forma bem mais simples.
Passo 6
Podemos relacionar
com a função seno do ângulo duplo. A fórmula do ângulo duplo é
Essa fórmula vem da fórmula de adição
com
. Isolando
temos
Substituindo na expressão do passo 5:
Passo 7
Resumindo as equivalências que demonstramos:
Reforço a condição de existência: para todas essas transformações precisamos que
e
, ou seja
pois em
alguma das funções seno ou cosseno é zero e
ou
não estão definidas.
Passo 8
Um exemplo numérico rápido para checar (só para ganhar confiança): seja
. Então
soma
.
Pela fórmula temos
, então
, bate certinho.
Pela fórmula