Exercício 9. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=t_{0}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = t_{0}.
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas tangente e cotangente de um ângulo x. Não foi dado valor numérico para t_{0}; portanto nosso objetivo é transformar a soma \operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x em uma forma equivalente mais simples (essa forma será o que podemos interpretar como t_{0}). Observação importante: para que \operatorname{tg} x e \operatorname{cotg} x existam simultaneamente, precisamos ter \sin x \neq 0 e \cos x \neq 0 (vou explicitar isso depois).

Passo 2

Primeiro, lembre as definições da tangente e da cotangente em termos de seno e cosseno. Estas são fórmulas básicas:
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Explico devagar: \sin x e \cos x são as razões seno e cosseno; a tangente é seno dividido por cosseno, e a cotangente é o inverso disso.

Passo 3

Substituímos essas definições na soma pedida:
\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
Aqui estamos apenas trocando os nomes por frações para poder manipular com técnica de frações comuns.

Passo 4

Somamos as frações usando denominador comum \sin x\cos x. Então:
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x\cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}.
Expliquei cada passo: coloquei as duas frações sobre o mesmo denominador e somei os numeradores.

Passo 5

Agora uso a identidade trigonométrica fundamental (identidade de Pitágoras):
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\sin x\cos x}.
Portanto já simplificamos a soma para uma forma bem mais simples.

Passo 6

Podemos relacionar \sin x\cos x com a função seno do ângulo duplo. A fórmula do ângulo duplo é
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Essa fórmula vem da fórmula de adição \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b com a=b=x. Isolando \sin x\cos x temos
\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}.
Substituindo na expressão do passo 5:
\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\dfrac{\sin 2x}{2}} = \frac{2}{\sin 2x}.

Passo 7

Resumindo as equivalências que demonstramos:
\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\sin x\cos x} = \frac{2}{\sin 2x}.
Reforço a condição de existência: para todas essas transformações precisamos que \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0, ou seja
x \neq \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z},
pois em x=\dfrac{k\pi}{2} alguma das funções seno ou cosseno é zero e \operatorname{tg} x ou \operatorname{cotg} x não estão definidas.

Passo 8

Um exemplo numérico rápido para checar (só para ganhar confiança): seja x=\dfrac{\pi}{6}. Então
\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \operatorname{cotg}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3},
soma =\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}.
Pela fórmula \dfrac{2}{\sin 2x} temos \sin(2x)=\sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então \dfrac{2}{\sin 2x}=\dfrac{2}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}, bate certinho.

Resposta

\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{1}{\sin x\cos x} = \dfrac{2}{\sin 2x},\qquad x \neq \dfrac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}.

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