) Apresentar um exemplo de aplicação de equações diferenciais lineares de
ordem (Problema e resolução).
Passo 1
Enunciado do problema (o que é pedido e o que nos foi dado):\n
Temos um tanque que contém litros de água inicialmente, com
gramas de sal dissolvidos. Uma solução salina com concentração
gramas por litro entra no tanque à razão de
litros por minuto. O líquido sai do tanque à mesma razão de
litros por minuto (logo o volume no tanque permanece constante em
L). Perguntas:\n
Temos um tanque que contém
- Modelar o problema e encontrar a quantidade de sal
no tanque em função do tempo (minutos).\n - Encontrar a concentração de sal
(em g/L) no tanque em função do tempo.\n - Determinar o comportamento quando
(concentração de equilíbrio).\n - (Pergunta extra típica de prova) Em quanto tempo a concentração atinge
do valor de equilíbrio?\n
Passo 2
Traduzindo o enunciado para equações (montagem do modelo):\n
Seja a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante
. Em pequenos intervalos de tempo, a variação de
é dada por: sal que entra menos sal que sai. Assim:
Seja
Dos dados: vazão de entrada
L/min, concentração de entrada
g/L, vazão de saída
L/min, volume do tanque
L (constante). A concentração no tanque é
g/L. Substituindo:
Simplificando os números:
(g/min) e
. Portanto a equação fica
com condição inicial
Passo 3
Identificação do tipo de equação e método a usar (aula rápida):\n
A equação escrita
A equação escrita
é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Aqui
e
são funções de
. No nosso caso
(constante) e
(constante). O método mais direto para resolver esse tipo é o fator integrante (ou fator de integração). Vou te explicar por que e como ele funciona, passo a passo, sem pular nada.\n
Ideia do fator integrante: multiplicamos a equação por uma função escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Queremos
Ideia do fator integrante: multiplicamos a equação por uma função
Pelo produto da derivada,
. Comparando com
vemos que precisamos de
. Essa é uma equação separável para
:
. Integrando,
normalmente escolhemos
e então
Depois multiplicamos a equação original por
e obtemos
. Integramos ambos os lados e isolamos
. Esse é o esquema geral — agora aplicamos ao nosso caso concreto.
Passo 4
Aplicando o método ao nosso caso: cálculo do fator integrante\n
Temos (constante). Então o fator integrante
é
Temos
Nota: escrever
é o mesmo que
. Agora multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada:
Passo 5
Integração e obtenção da solução geral\n
Agora integramos ambos os lados em relação a :
Agora integramos ambos os lados em relação a
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
porque
. Logo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
e usando a condição inicial\n
Dividindo ambos os lados por obtemos:
Dividindo ambos os lados por
Calcula-se
. Então
Para determinar
usamos
:
Portanto a solução particular com a condição inicial é
Passo 7
Interpretando fisicamente
e a concentração\n
-
mede a quantidade de sal em gramas no tanque no instante .\n - A concentração no tanque em g/L é
. Substituindo :
Observações físicas: quando
,
e então
g e
g/L. Isso faz sentido: a concentração tende para a concentração da solução que entra (
g/L) porque, a longo prazo, o que entra iguala ao que sai.
Passo 8
Resposta típica de prova extra — tempo para atingir
da concentração de equilíbrio\n
O valor de equilíbrio para a concentração é . Queremos achar
tal que
g/L. Usando
:
O valor de equilíbrio para a concentração é
Isolando o exponencial:
Aplicando log natural:
Calculando numericamente (se pedirem):
, então
Ou seja, cerca de
minutos para atingir
da concentração de equilíbrio.
Passo 9
Resumo didático do método (como aplicar na prova — checklist rápido):\n
- Modelar a variação:
entrada saída.\n - Colocar na forma padrão
.\n - Calcular
.\n - Multiplicar a equação por
e reconhecer .\n - Integrar ambos os lados, isolar
e aplicar condição inicial.\n
Siga essas etapas calmamente na prova — isso resolve a maioria dos problemas de mistura e muitos outros problemas físicos que levam a equações lineares de 1ª ordem.
Resposta
Tempo para