4^{\underline{a}} ) Apresentar um exemplo de aplicação de equações diferenciais lineares de 1^{\circ} ordem (Problema e resolução).

Passo 1

Enunciado do problema (o que é pedido e o que nos foi dado):\n
Temos um tanque que contém \;100\; litros de água inicialmente, com \;10\; gramas de sal dissolvidos. Uma solução salina com concentração \;0{,}2\; gramas por litro entra no tanque à razão de \;5\; litros por minuto. O líquido sai do tanque à mesma razão de \;5\; litros por minuto (logo o volume no tanque permanece constante em \;100\; L). Perguntas:\n
  1. Modelar o problema e encontrar a quantidade de sal A(t) no tanque em função do tempo t (minutos).\n
  2. Encontrar a concentração de sal c(t) (em g/L) no tanque em função do tempo.\n
  3. Determinar o comportamento quando t\to\infty (concentração de equilíbrio).\n
  4. (Pergunta extra típica de prova) Em quanto tempo a concentração atinge 95\% do valor de equilíbrio?\n

Passo 2

Traduzindo o enunciado para equações (montagem do modelo):\n
Seja A(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t. Em pequenos intervalos de tempo, a variação de A é dada por: sal que entra menos sal que sai. Assim:
\frac{dA}{dt} = (\text{vazão de entrada})\times(\text{concentração entrada}) - (\text{vazão de saída})\times(\text{concentração no tanque}).ãçããíçã
Dos dados: vazão de entrada =5 L/min, concentração de entrada =0{,}2 g/L, vazão de saída =5 L/min, volume do tanque =100 L (constante). A concentração no tanque é \frac{A(t)}{100} g/L. Substituindo:
\frac{dA}{dt} = 5\cdot 0{,}2 - 5\cdot \frac{A(t)}{100}.
Simplificando os números: 5\cdot 0{,}2 = 1 (g/min) e 5/100 = 1/20 = 0{,}05. Portanto a equação fica
\frac{dA}{dt} + 0{,}05\,A(t) = 1,
com condição inicial
A(0)=10.

Passo 3

Identificação do tipo de equação e método a usar (aula rápida):\n
A equação escrita
\frac{dA}{dt} + p(t)\,A(t) = q(t)
é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Aqui p(t) e q(t) são funções de t. No nosso caso p(t)=0{,}05 (constante) e q(t)=1 (constante). O método mais direto para resolver esse tipo é o fator integrante (ou fator de integração). Vou te explicar por que e como ele funciona, passo a passo, sem pular nada.\n
Ideia do fator integrante: multiplicamos a equação por uma função \mu(t) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)A(t). Queremos
\mu(t)\frac{dA}{dt} + \mu(t)p(t)A(t) = \frac{d}{dt}\big(\mu(t)A(t)\big).
Pelo produto da derivada, \frac{d}{dt}\big(\mu A\big)=\mu A' + \mu' A. Comparando com \mu A' + \mu p A vemos que precisamos de \mu' = \mu p. Essa é uma equação separável para \mu: \frac{\mu'}{\mu}=p(t). Integrando,
\ln \mu(t) = \int p(t)\,dt + C,
normalmente escolhemos C=0 e então
\mu(t)=\exp\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Depois multiplicamos a equação original por \mu e obtemos \frac{d}{dt}(\mu A)=\mu q. Integramos ambos os lados e isolamos A(t). Esse é o esquema geral — agora aplicamos ao nosso caso concreto.

Passo 4

Aplicando o método ao nosso caso: cálculo do fator integrante\n
Temos p(t)=0{,}05 (constante). Então o fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\Big(\int 0{,}05\,dt\Big)=\exp(0{,}05t).
Nota: escrever \exp(0{,}05t) é o mesmo que e^{0{,}05t}. Agora multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{0{,}05t}\frac{dA}{dt} + 0{,}05\,e^{0{,}05t}A = e^{0{,}05t}\cdot 1.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dt}\big(e^{0{,}05t}A(t)\big) = e^{0{,}05t}.

Passo 5

Integração e obtenção da solução geral\n
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{0{,}05t}A(t)\big)\,dt = \int e^{0{,}05t}\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{0{,}05t}A(t). A integral do lado direito é \frac{1}{0{,}05}e^{0{,}05t} porque \int e^{at} dt = \frac{1}{a}e^{at}. Logo:
e^{0{,}05t}A(t) = \frac{1}{0{,}05}e^{0{,}05t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando A(t) e usando a condição inicial\n
Dividindo ambos os lados por e^{0{,}05t} obtemos:
A(t) = \frac{1}{0{,}05} + C e^{-0{,}05t}.
Calcula-se \frac{1}{0{,}05} = 20. Então
A(t) = 20 + C e^{-0{,}05t}.
Para determinar C usamos A(0)=10:
10 = 20 + C e^{0} \quad\Rightarrow\quad C = 10-20 = -10.
Portanto a solução particular com a condição inicial é
A(t) = 20 - 10\,e^{-0{,}05t}.

Passo 7

Interpretando fisicamente A(t) e a concentração\n
  • A(t) mede a quantidade de sal em gramas no tanque no instante t.\n
  • A concentração no tanque em g/L é c(t)=\dfrac{A(t)}{100}. Substituindo A(t):
c(t) = \frac{20 - 10\,e^{-0{,}05t}}{100} = 0{,}2 - 0{,}1\,e^{-0{,}05t}.
Observações físicas: quando t\to\infty, e^{-0{,}05t}\to 0 e então A(t)\to 20 g e c(t)\to 0{,}2 g/L. Isso faz sentido: a concentração tende para a concentração da solução que entra ( 0{,}2 g/L) porque, a longo prazo, o que entra iguala ao que sai.

Passo 8

Resposta típica de prova extra — tempo para atingir 95\% da concentração de equilíbrio\n
O valor de equilíbrio para a concentração é c_\infty=0{,}2. Queremos achar t tal que c(t)=0{,}95\,c_\infty = 0{,}95\cdot 0{,}2 = 0{,}19 g/L. Usando c(t)=0{,}2 - 0{,}1 e^{-0{,}05t}:
0{,}2 - 0{,}1 e^{-0{,}05t} = 0{,}19.
Isolando o exponencial:
0{,}1 e^{-0{,}05t} = 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad e^{-0{,}05t} = 0{,}1.
Aplicando log natural:
-0{,}05t = \ln(0{,}1) = -\ln(10) \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln(10)}{0{,}05}.
Calculando numericamente (se pedirem): \ln(10)\approx 2{,}302585, então
t \approx \frac{2{,}302585}{0{,}05} \approx 46{,}05\\ \text{minutos}.
Ou seja, cerca de 46 minutos para atingir 95\% da concentração de equilíbrio.

Passo 9

Resumo didático do método (como aplicar na prova — checklist rápido):\n
  1. Modelar a variação: \dfrac{dA}{dt}= entrada - saída.\n
  2. Colocar na forma padrão \dfrac{dA}{dt}+p(t)A=q(t).\n
  3. Calcular \mu(t)=\exp\big(\int p(t)\,dt\big).\n
  4. Multiplicar a equação por \mu(t) e reconhecer \dfrac{d}{dt}(\mu A)=\mu q.\n
  5. Integrar ambos os lados, isolar A(t) e aplicar condição inicial.\n
    Siga essas etapas calmamente na prova — isso resolve a maioria dos problemas de mistura e muitos outros problemas físicos que levam a equações lineares de 1ª ordem.

Resposta

A(t)=20-10\,e^{-0{,}05t} g\n
c(t)=0{,}2-0{,}1\,e^{-0{,}05t} g/L\n
\displaystyle \lim_{t\to\infty}A(t)=20 g e \displaystyle \lim_{t\to\infty}c(t)=0{,}2 g/L\n
Tempo para 95\% do equilíbrio: \displaystyle t=\frac{\ln(10)}{0{,}05}\approx 46{,}05 minutos

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