Resolva as esquações de Bernoulli.
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x^{2}\frac{dy}{dx}-2xy=3y^{4},
com a condição y(1)=\tfrac{1}{2}.
A tarefa é encontrar a solução y(x) que satisfaça essa equação e a condição inicial. Observação: a equação envolve x^{2} multiplicando \frac{dy}{dx}, então devemos considerar x\neq 0 ao manipular a expressão.

Passo 2

Vamos transformar a equação para a forma padrão que facilita a solução. Dividindo ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq 0), obtemos uma equação equivalente:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}y^{4}.
Aqui temos uma equação não linear por causa do termo y^{4}. O próximo passo é aplicar uma substituição que lineariza esse tipo de equação (procedimento de Bernoulli). Não se assuste: vou explicar tudo passo a passo.

Passo 3

Regra da equação de Bernoulli (explicação didática): para uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},
fazemos a substituição
u=y^{1-n},
porque isso transforma a equação não linear em uma equação linear para u. Aqui n é o expoente que aparece multiplicando Q(x). No nosso caso, comparando com a forma padrão, temos P(x)=-\dfrac{2}{x}, Q(x)=\dfrac{3}{x^{2}} e n=4. Portanto escolhemos
u=y^{1-4}=y^{-3}.
Agora vamos calcular \dfrac{du}{dx} em termos de y e \dfrac{dy}{dx}:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(y^{-3}\big)=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}.
Esta relação será usada para substituir \dfrac{dy}{dx} na equação original e obter uma equação linear em u.

Passo 4

Pegamos a equação já dividida:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}y^{4},
e multiplicamos ambos os lados por -3y^{-4} para aproveitar a expressão de \dfrac{du}{dx}:
-3y^{-4}\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y^{-3}=-\frac{9}{x^{2}}.
Agora substituímos -3y^{-4}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx} e y^{-3}=u. Assim obtemos a equação linear para u:
\frac{du}{dx}+\frac{6}{x}u=-\frac{9}{x^{2}}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
\frac{du}{dx}+\frac{6}{x}u=-\frac{9}{x^{2}}.
Método do fator integrante: calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int\frac{6}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(6\ln|x|\big)=|x|^{6}.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos trabalhar com x>0 e tomar \mu(x)=x^{6}. Multiplicando a equação por x^{6} obtemos
x^{6}\frac{du}{dx}+6x^{5}u=-9x^{4},
e o lado esquerdo é a derivada do produto x^{6}u:
\frac{d}{dx}\big(x^{6}u\big)=-9x^{4}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{6}u=\int -9x^{4}\,dx=-9\cdot\frac{x^{5}}{5}+C=-\frac{9}{5}x^{5}+C,
onde C é a constante de integração. Portanto
u=\,-\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{x}+C x^{-6}.
Lembrando que u=y^{-3}, temos
y^{-3}=-\frac{9}{5x}+C x^{-6}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=\tfrac{1}{2} para determinar C. Quando x=1 temos y^{-3}=(\tfrac{1}{2})^{-3}=8. Substituindo em
y^{-3}=-\frac{9}{5x}+C x^{-6},
com x=1:
8=-\frac{9}{5}+C.
Logo
C=8+\frac{9}{5}=\frac{40}{5}+\frac{9}{5}=\frac{49}{5}.

Passo 8

Substituímos C na expressão de y^{-3}:
y^{-3}=-\frac{9}{5x}+\frac{49}{5}x^{-6}.
Colocando em um único quociente (colocando sobre denominador comum 5x^{6}):
y^{-3}=\frac{-9x^{5}+49}{5x^{6}}=\frac{49-9x^{5}}{5x^{6}}.
Invertendo ambos os lados para obter y^{3}:
y^{3}=\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}.
Tomando a raiz cúbica (escolhendo a raiz real compatível com a condição inicial), obtemos a solução explícita
y(x)=\left(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\right)^{1/3}.
Observação sobre domínio: a solução está bem definida para valores de x tais que 49-9x^{5}\neq 0. Como y(1)=\tfrac{1}{2}>0, escolhemos a raiz cúbica real positiva naquela vizinhança de x=1.

Resposta

y(x)=\left(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\right)^{1/3}

Exercícios relacionados