Resolva as esquações de Bernoulli.
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com a condição
.
A tarefa é encontrar a solução que satisfaça essa equação e a condição inicial. Observação: a equação envolve
multiplicando
, então devemos considerar
ao manipular a expressão.
A tarefa é encontrar a solução
Passo 2
Vamos transformar a equação para a forma padrão que facilita a solução. Dividindo ambos os lados por
(válido para
), obtemos uma equação equivalente:
Aqui temos uma equação não linear por causa do termo
. O próximo passo é aplicar uma substituição que lineariza esse tipo de equação (procedimento de Bernoulli). Não se assuste: vou explicar tudo passo a passo.
Passo 3
Regra da equação de Bernoulli (explicação didática): para uma equação da forma
fazemos a substituição
porque isso transforma a equação não linear em uma equação linear para
. Aqui
é o expoente que aparece multiplicando
. No nosso caso, comparando com a forma padrão, temos
,
e
. Portanto escolhemos
Agora vamos calcular
em termos de
e
:
Esta relação será usada para substituir
na equação original e obter uma equação linear em
.
Passo 4
Pegamos a equação já dividida:
e multiplicamos ambos os lados por
para aproveitar a expressão de
:
Agora substituímos
e
. Assim obtemos a equação linear para
:
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Método do fator integrante: calculamos o fator integrante
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar com
e tomar
. Multiplicando a equação por
obtemos
e o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Portanto
Lembrando que
, temos
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Quando
temos
. Substituindo em
com
:
Logo
Passo 8
Substituímos
na expressão de
:
Colocando em um único quociente (colocando sobre denominador comum
):
Invertendo ambos os lados para obter
:
Tomando a raiz cúbica (escolhendo a raiz real compatível com a condição inicial), obtemos a solução explícita
Observação sobre domínio: a solução está bem definida para valores de
tais que
. Como
, escolhemos a raiz cúbica real positiva naquela vizinhança de
.