Seja A e B dois conjuntos de números reais não vazios e seja
\delta(A, B)=\inf \{|a-b| ; a \in A, b \in B\} .
\delta(A, B) é chamada distancia entre os conjuntos A e B
a) Seja A=\mathbb{N} e B=\mathbb{R} \mid \mathbb{N}. Calcule (A, B).
b) Se os conjuntos A e B são finitos, o que \delta(A, B) representa.
c) Seja B=[0,1]. O que significa a afirmação o \{x\}, B)=0 para o ponto x.
d) Seja B=(0,1). O que significa a afirmação \delta(\{x\}, B)=0 para o ponto x.
Passo 1
O enunciado fornece a função distância entre conjuntos
\delta(A,B)=\inf\{|a-b|;a\in A,\;b\in B\},
com A e B conjuntos não vazios de números reais. As questões pedem:
(a) Para A=\mathbb{N} e B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}, calcular \delta(A,B).
(b) Se A e B são conjuntos finitos, interpretar o que \delta(A,B) representa.
(c) Com B=[0,1], interpretar o significado da afirmação \delta(\{x\},B)=0 para um ponto x.
(d) Com B=(0,1), interpretar o significado da afirmação \delta(\{x\},B)=0 para um ponto x.
Vou agora resolver cada item passo a passo, explicando os conceitos necessários (infimum, mínimo, encerramento/fecho, pontos de aderência) de forma bem didática.
Passo 2
Revisão do conceito de \inf (infimum) e relação com mínimo:
Para um conjunto S\subset\mathbb{R} não vazio e limitado abaixo, \inf S é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de S. Em palavras: é o “menor limite inferior” de S.
Se o conjunto S atinge um valor mínimo, isto é, existe s_0\in S tal que s_0\le s para todo s\in S, então \inf S=\min S.
No caso de conjuntos finitos, sempre existe mínimo, logo \inf coincide com \min.
Passo 3
Interpretação de \delta(A,B) para conjuntos em \mathbb{R}:
Para conjuntos A,B\subset\mathbb{R}, \delta(A,B) é a menor distância (no sentido de infimum) entre um ponto de A e um ponto de B.
Para um ponto x e um conjunto B escrevemos \delta(\{x\},B)=\inf\{|x-b|;b\in B\}. Esse valor é a distância do ponto x ao conjunto B.
Observação útil: \delta(\{x\},B)=0 se, e somente se, x pertence ao fecho de B, isto é, x\in\overline{B}. Vou usar essa equivalência nos itens (c) e (d) e explicá-la quando necessária.
Fixe um n\in\mathbb{N}. Considere os números reais não inteiros arbitrariamente próximos de n. Por exemplo, para qualquer \varepsilon>0 o número b=n+\frac{\varepsilon}{2} pertence a \mathbb{R}\setminus\mathbb{N} (pois não é inteiro) e satisfaz |n-b|=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.
Então, para cada n\in\mathbb{N} temos \inf\{|n-b|;b\in B\}=0, porque podemos encontrar elementos de B tão próximos de n quanto quisermos.
Intuição: em \mathbb{R} há pontos não inteiros arbitrariamente próximos de cada inteiro, logo a distância entre o conjunto dos inteiros e o seu complemento é zero.
Passo 5
Resolvendo (b): caso A e B finitos.
Se A e B são finitos, então o conjunto \{|a-b|;a\in A,b\in B\} é finito e não vazio, portanto tem mínimo.
Logo, para conjuntos finitos vale
\delta(A,B)=\min\{|a-b|;a\in A,b\in B\}.
Interpretação geométrica: \delta(A,B) é a menor distância entre um ponto de A e um ponto de B. Em particular:
se A\cap B\neq\varnothing, então essa menor distância é 0;
se A\cap B=\varnothing, então \delta(A,B)>0 e é a separação mínima entre os dois conjuntos (a menor distância entre quaisquer dois pontos, um em cada conjunto).
Passo 6
Conceito de fecho/encerramento e pontos de aderência (necessário para (c) e (d)):
O fecho de um conjunto B, denotado \overline{B}, é o conjunto de todos os pontos x tais que qualquer vizinhança de x contém pontos de B. Equivalentemente, x\in\overline{B} se existem pontos de B arbitrariamente próximos de x.
Se x\in\overline{B}, então para todo \varepsilon>0 existe b\in B com |x-b|<\varepsilon, logo \inf_{b\in B}|x-b|=0.
Se \inf_{b\in B}|x-b|=0, isso significa que existem pontos de B arbitrariamente próximos de x, logo x está no fecho de B.
Passo 7
Resolvendo (c): B=[0,1]. Significado de \delta(\{x\},B)=0.
Como B=[0,1] é fechado, tem \overline{B}=B.
Usando a equivalência do passo anterior, \delta(\{x\},B)=0 se, e somente se, x\in\overline{B}=[0,1].
Conclusão interpretativa: \delta(\{x\},[0,1])=0 significa que x pertence a [0,1]. Em palavras: a distância do ponto x ao intervalo [0,1] é zero exatamente quando x está dentro desse intervalo (ou seja, é um ponto do próprio conjunto).
Passo 8
Resolvendo (d): B=(0,1). Significado de \delta(\{x\},B)=0.
Agora B=(0,1) é aberto, mas seu fecho é \overline{B}=[0,1] (os pontos 0 e 1 são pontos de aderência).
Pela equivalência, \delta(\{x\},(0,1))=0 se, e somente se, x\in\overline{(0,1)}=[0,1].
Interpretação detalhada:
Se x\in(0,1) então x\in B e obviamente \delta(\{x\},B)=0.
Se x=0 ou x=1, mesmo que x\notin B, existem pontos de B arbitrariamente próximos (por exemplo 1/n\to0 ou 1-1/n\to1), então \delta(\{x\},B)=0. Ou seja, distância zero inclui também pontos de fronteira.
Se x\notin[0,1] então \delta(\{x\},B)>0 e é igual à distância para o ponto mais próximo do intervalo [0,1].
Resumo: \delta(\{x\},(0,1))=0 significa que x pertence ao fecho [0,1]; pode ser um ponto interior de B ou um ponto de fronteira 0 ou 1.
Resposta
(a) 0
(b) \displaystyle \delta(A,B)=\min\{|a-b|;a\in A,\;b\in B\}, ou seja, a menor distância entre um ponto de A e um ponto de B (vale 0 se e somente se A\cap B\neq\varnothing).
(c) \delta(\{x\},[0,1])=0 significa que x\in[0,1].
(d) \delta(\{x\},(0,1))=0 significa que x\in\overline{(0,1)}=[0,1] (ou seja, x está em (0,1) ou é um ponto de fronteira 0 ou 1).