Seja A e B dois conjuntos de números reais não vazios e seja
\delta(A, B)=\inf \{|a-b| ; a \in A, b \in B\} .
\delta(A, B) é chamada distancia entre os conjuntos A e B
a) Seja A=\mathbb{N} e B=\mathbb{R} \mid \mathbb{N}. Calcule (A, B).
b) Se os conjuntos A e B são finitos, o que \delta(A, B) representa.
c) Seja B=[0,1]. O que significa a afirmação o \{x\}, B)=0 para o ponto x.
d) Seja B=(0,1). O que significa a afirmação \delta(\{x\}, B)=0 para o ponto x.

Passo 1

O enunciado fornece a função distância entre conjuntos
\delta(A,B)=\inf\{|a-b|;a\in A,\;b\in B\},
com A e B conjuntos não vazios de números reais. As questões pedem:
(a) Para A=\mathbb{N} e B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}, calcular \delta(A,B).
(b) Se A e B são conjuntos finitos, interpretar o que \delta(A,B) representa.
(c) Com B=[0,1], interpretar o significado da afirmação \delta(\{x\},B)=0 para um ponto x.
(d) Com B=(0,1), interpretar o significado da afirmação \delta(\{x\},B)=0 para um ponto x.
Vou agora resolver cada item passo a passo, explicando os conceitos necessários (infimum, mínimo, encerramento/fecho, pontos de aderência) de forma bem didática.

Passo 2

Revisão do conceito de \inf (infimum) e relação com mínimo:
  • Para um conjunto S\subset\mathbb{R} não vazio e limitado abaixo, \inf S é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de S. Em palavras: é o “menor limite inferior” de S.
  • Se o conjunto S atinge um valor mínimo, isto é, existe s_0\in S tal que s_0\le s para todo s\in S, então \inf S=\min S.
  • No caso de conjuntos finitos, sempre existe mínimo, logo \inf coincide com \min.

Passo 3

Interpretação de \delta(A,B) para conjuntos em \mathbb{R}:
  • Para conjuntos A,B\subset\mathbb{R}, \delta(A,B) é a menor distância (no sentido de infimum) entre um ponto de A e um ponto de B.
  • Para um ponto x e um conjunto B escrevemos \delta(\{x\},B)=\inf\{|x-b|;b\in B\}. Esse valor é a distância do ponto x ao conjunto B.
  • Observação útil: \delta(\{x\},B)=0 se, e somente se, x pertence ao fecho de B, isto é, x\in\overline{B}. Vou usar essa equivalência nos itens (c) e (d) e explicá-la quando necessária.

Passo 4

Resolvendo (a): A=\mathbb{N}, B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}.
  • Fixe um n\in\mathbb{N}. Considere os números reais não inteiros arbitrariamente próximos de n. Por exemplo, para qualquer \varepsilon>0 o número b=n+\frac{\varepsilon}{2} pertence a \mathbb{R}\setminus\mathbb{N} (pois não é inteiro) e satisfaz |n-b|=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.
  • Então, para cada n\in\mathbb{N} temos \inf\{|n-b|;b\in B\}=0, porque podemos encontrar elementos de B tão próximos de n quanto quisermos.
  • Portanto
\delta(A,B)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\inf_{b\in B}|n-b|=0.
  • Intuição: em \mathbb{R} há pontos não inteiros arbitrariamente próximos de cada inteiro, logo a distância entre o conjunto dos inteiros e o seu complemento é zero.

Passo 5

Resolvendo (b): caso A e B finitos.
  • Se A e B são finitos, então o conjunto \{|a-b|;a\in A,b\in B\} é finito e não vazio, portanto tem mínimo.
  • Logo, para conjuntos finitos vale
\delta(A,B)=\min\{|a-b|;a\in A,b\in B\}.
  • Interpretação geométrica: \delta(A,B) é a menor distância entre um ponto de A e um ponto de B. Em particular:
    • se A\cap B\neq\varnothing, então essa menor distância é 0;
    • se A\cap B=\varnothing, então \delta(A,B)>0 e é a separação mínima entre os dois conjuntos (a menor distância entre quaisquer dois pontos, um em cada conjunto).

Passo 6

Conceito de fecho/encerramento e pontos de aderência (necessário para (c) e (d)):
  • O fecho de um conjunto B, denotado \overline{B}, é o conjunto de todos os pontos x tais que qualquer vizinhança de x contém pontos de B. Equivalentemente, x\in\overline{B} se existem pontos de B arbitrariamente próximos de x.
  • Fato importante: para qualquer x\in\mathbb{R},
\delta(\{x\},B)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\overline{B}.
  • Explicação rápida dessa equivalência:
    • Se x\in\overline{B}, então para todo \varepsilon>0 existe b\in B com |x-b|<\varepsilon, logo \inf_{b\in B}|x-b|=0.
    • Se \inf_{b\in B}|x-b|=0, isso significa que existem pontos de B arbitrariamente próximos de x, logo x está no fecho de B.

Passo 7

Resolvendo (c): B=[0,1]. Significado de \delta(\{x\},B)=0.
  • Como B=[0,1] é fechado, tem \overline{B}=B.
  • Usando a equivalência do passo anterior, \delta(\{x\},B)=0 se, e somente se, x\in\overline{B}=[0,1].
  • Conclusão interpretativa: \delta(\{x\},[0,1])=0 significa que x pertence a [0,1]. Em palavras: a distância do ponto x ao intervalo [0,1] é zero exatamente quando x está dentro desse intervalo (ou seja, é um ponto do próprio conjunto).

Passo 8

Resolvendo (d): B=(0,1). Significado de \delta(\{x\},B)=0.
  • Agora B=(0,1) é aberto, mas seu fecho é \overline{B}=[0,1] (os pontos 0 e 1 são pontos de aderência).
  • Pela equivalência, \delta(\{x\},(0,1))=0 se, e somente se, x\in\overline{(0,1)}=[0,1].
  • Interpretação detalhada:
    • Se x\in(0,1) então x\in B e obviamente \delta(\{x\},B)=0.
    • Se x=0 ou x=1, mesmo que x\notin B, existem pontos de B arbitrariamente próximos (por exemplo 1/n\to0 ou 1-1/n\to1), então \delta(\{x\},B)=0. Ou seja, distância zero inclui também pontos de fronteira.
    • Se x\notin[0,1] então \delta(\{x\},B)>0 e é igual à distância para o ponto mais próximo do intervalo [0,1].
  • Resumo: \delta(\{x\},(0,1))=0 significa que x pertence ao fecho [0,1]; pode ser um ponto interior de B ou um ponto de fronteira 0 ou 1.

Resposta

(a) 0
(b) \displaystyle \delta(A,B)=\min\{|a-b|;a\in A,\;b\in B\}, ou seja, a menor distância entre um ponto de A e um ponto de B (vale 0 se e somente se A\cap B\neq\varnothing).
(c) \delta(\{x\},[0,1])=0 significa que x\in[0,1].
(d) \delta(\{x\},(0,1))=0 significa que x\in\overline{(0,1)}=[0,1] (ou seja, x está em (0,1) ou é um ponto de fronteira 0 ou 1).

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