1. Determine o valor de k para que os vetores sejam perpendiculares:
a) \vec{u}=(k, 2,1), \vec{v}=(1,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k para que os vetores dados sejam perpendiculares. Os vetores fornecidos são:
\vec{u}=(k,\,2,\,1),\qquad \vec{v}=(1,\,-1,\,2).
As perguntas claras são: qual o valor de k que torna \vec{u} perpendicular a \vec{v}?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): dois vetores em \mathbb{R}^3 são perpendiculares (ortogonais) se e somente se o produto escalar entre eles for zero.
Definição do produto escalar para vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3):
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Interpretação geométrica curta: \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; se \theta=90^\circ então \cos\theta=0 e o produto escalar é zero. Portanto, para achar k basta impor \vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados, multiplicando componente a componente e somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}= (k)\cdot(1) + (2)\cdot(-1) + (1)\cdot(2).
Agora calculamos cada termo:
(k)\cdot(1)=k,\qquad (2)\cdot(-1)=-2,\qquad (1)\cdot(2)=2.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=k+(-2)+2 = k.

Passo 4

Impondo a condição de perpendicularidade \vec{u}\cdot\vec{v}=0, obtemos a equação
k=0.
Assim o valor de k que torna \vec{u} perpendicular a \vec{v} é 0.

Passo 5

Verificação rápida (roda de segurança): substituindo k=0 em \vec{u} temos \vec{u}=(0,2,1). O produto escalar com \vec{v}=(1,-1,2) é
0\cdot1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot2 = 0 -2 +2 = 0,
confirmando que os vetores são de fato perpendiculares. Bom trabalho — esse é um tipo de exercício que cai com frequência e que resolve rápido na prova se lembrar: “produto escalar zero = vetores perpendiculares”. Força na prova!

Resposta

k=0

Exercícios relacionados