1. Determine o valor de k para que os vetores sejam perpendiculares:
b) \vec{u}=(2, k,-3), \vec{v}=(1,4,2)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede para determinar o valor de k que os torna perpendiculares. As informações fornecidas são:
\vec{u}=(2,k,-3) e \vec{v}=(1,4,2).
A pergunta é: para qual valor de k temos \vec{u} perpendicular a \vec{v}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) o produto escalar (ou dot product) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Esse produto escalar também pode ser escrito como
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores e \|\vec{a}\| é o comprimento de \vec{a}. Da segunda fórmula vem a condição: dois vetores são perpendiculares (ângulo \theta=90^\circ) exatamente quando \cos\theta=0, isto é, quando
\vec{a}\cdot\vec{b}=0.
Então, para tornar \vec{u} perpendicular a \vec{v} basta exigir \vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 3

Aplicando a definição do produto escalar aos vetores dados:
\vec{u}\cdot\vec{v}= (2)\cdot(1) + (k)\cdot(4) + (-3)\cdot(2).
Escrevendo isso explicitamente:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2 + 4k - 6.

Passo 4

Impondo a condição de perpendicularidade \vec{u}\cdot\vec{v}=0, obtém-se a equação:
2 + 4k - 6 = 0.
Simplificando os termos constantes:
4k - 4 = 0.
Isolando k:
4k = 4
k = 1.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituindo k=1 em \vec{u} temos \vec{u}=(2,1,-3). O produto escalar com \vec{v} é
2\cdot1 + 1\cdot4 + (-3)\cdot2 = 2 + 4 - 6 = 0,
logo realmente são perpendiculares.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando um dos vetores tiver uma componente desconhecida, a condição de perpendicularidade gera sempre uma equação linear simples (como aqui). Basta aplicar a fórmula do produto escalar, somar os termos conhecidos e resolver para a incógnita. Exemplo extra rápido: achar t tal que (t,2,3) seja perpendicular a (1,0,-1). Monta-se t\cdot1 + 2\cdot0 + 3\cdot(-1)=0 so t-3=0 e t=3. Simples assim — não precisa de cálculos pesados nem calculadora.

Resposta

k=1

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