1. Sejam os pontos do espaço
$$A(1,2,3), B(4,-1,5), C(-2,0,1)
d) Verifique se \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}.

Passo 1

O enunciado fornece três pontos no espaço com coordenadas:
A(1,2,3),\qquad B(4,-1,5),\qquad C(-2,0,1).
A pergunta é: verificar se a igualdade vetorial
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
é verdadeira para esses pontos.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de vetor entre dois pontos: para dois pontos P(x_P,y_P,z_P) e Q(x_Q,y_Q,z_Q), o vetor \overrightarrow{PQ} é obtido subtraindo as coordenadas de P das de Q, isto é
\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Isto significa que o vetor tem três componentes — uma para cada eixo — e a operação é feita componente a componente (subtração para vetores do tipo \overrightarrow{PQ}, soma para combinar vetores).

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB} usando a fórmula acima. Substituindo A(1,2,3) e B(4,-1,5) obtemos
\overrightarrow{AB}=(4-1,\; -1-2,\; 5-3).
Agora fazer as subtrações em cada componente:
\overrightarrow{AB}=(3,\; -3,\; 2).

Passo 4

Calcular \overrightarrow{BC} com B(4,-1,5) e C(-2,0,1):
\overrightarrow{BC}=(-2-4,\; 0-(-1),\; 1-5).
Fazendo as contas:
\overrightarrow{BC}=(-6,\; 1,\; -4).

Passo 5

Somar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} componente a componente:
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3+(-6),\; -3+1,\; 2+(-4)).
Calculando cada soma:
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(-3,\; -2,\; -2).

Passo 6

Calcular \overrightarrow{AC} diretamente a partir de A(1,2,3) e C(-2,0,1):
\overrightarrow{AC}=(-2-1,\; 0-2,\; 1-3).
Fazendo as subtrações:
\overrightarrow{AC}=(-3,\; -2,\; -2).

Passo 7

Comparar os resultados obtidos:
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(-3,\,-2,\,-2) \qquad\text{e}\qquad \overrightarrow{AC}=(-3,\,-2,\,-2).
Como as componentes coincidem, a igualdade vetorial é verdadeira. Intuitivamente, isso reflete a “regra do polígono” (ou regra do triângulo) para vetores: ir de A a B e depois de B a C é o mesmo que ir diretamente de A a C.

Resposta

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} (a igualdade é verdadeira, ambos os vetores valem (-3,-2,-2)).

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