1. Sejam os pontos do espaço
$$A(1,2,3), B(4,-1,5), C(-2,0,1)
b) Calcule |\overrightarrow{A B}|.

Passo 1

O enunciado dá os pontos do espaço \,A(1,2,3),\; B(4,-1,5),\; C(-2,0,1)\, e pede, especificamente, no item (b) o comprimento do vetor \lvert\overrightarrow{A B}\rvert.
Informações relevantes:
  • Coordenadas de A: (1,2,3).
  • Coordenadas de B: (4,-1,5).
  • Objetivo: calcular o módulo (norma) do vetor \overrightarrow{A B}.

Passo 2

Primeiro passo operacional: encontrar as componentes do vetor \overrightarrow{A B}. Por definição,
\overrightarrow{A B} = B - A,
ou seja, subtrai-se coordenada a coordenada.

Passo 3

Calcular cada componente:
\overrightarrow{A B} = (\,4-1,\; -1-2,\; 5-3\,) = (\,3,\; -3,\; 2\,).
Aqui foi usado que a componente em x é 4-1, em y é -1-2 e em z é 5-3.

Passo 4

Agora lembrar a fórmula do módulo (norma) de um vetor no espaço tridimensional. Se \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Explicando: v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor nas direções x,y,z; cada componente é elevada ao quadrado, soma-se tudo e tira-se a raiz quadrada — isso dá a distância euclidiana entre as extremidades do vetor.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao vetor \overrightarrow{A B}=(3,-3,2):
\lvert\overrightarrow{A B}\rvert=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}.

Passo 6

Calcular os quadrados e somar:
3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9,\qquad 2^{2}=4,
9+9+4=22.

Passo 7

Portanto,
\lvert\overrightarrow{A B}\rvert=\sqrt{22}\approx 4,690\ldots
Observação simpática: \sqrt{22} é o valor exato; a aproximação decimal serve só para dar uma noção do tamanho.

Resposta

\sqrt{22}

Exercícios relacionados