Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
O que se pede é: determinar o valor de
para que
e
sejam ortogonais.
Passo 2
Explicando o que significa “ortogonais” e a ferramenta que vamos usar.
- Dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é
. - Uma forma prática de verificar ortogonalidade é usar o produto escalar (ou produto interno). Para vetores em
com componentes
o produto escalar é definido por
- Regra chave:
e são ortogonais se, e somente se,
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado. Identificamos as componentes:
Então o produto escalar é
Passo 4
Calcule cada termo da soma explicitamente:
Portanto
Passo 5
Impondo a condição de ortogonalidade
, obtemos a equação
Resolvendo para
:
Passo 6
Verificação direta substituindo
:
confirma que com
os vetores são de fato ortogonais.
Passo 7
Interpretação rápida e exemplo adicional para fixar: escolher
ajusta a segunda componente de
para “cancelar” as contribuições das outras componentes no produto escalar. Um exemplo simples que talvez já conheça:
e
são ortogonais porque o produto escalar
. Aqui fizemos a mesma ideia, mas resolvendo uma equação para achar
.