Determine o valor de k para que os vetores V=(1, k, 2) e W=(3,-1,4) sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
V=(1,k,2)\quad\text{e}\quad W=(3,-1,4).
O que se pede é: determinar o valor de k para que V e W sejam ortogonais.

Passo 2

Explicando o que significa “ortogonais” e a ferramenta que vamos usar.
  • Dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é 90^\circ.
  • Uma forma prática de verificar ortogonalidade é usar o produto escalar (ou produto interno). Para vetores em \mathbb{R}^3 com componentes
V=(v_1,v_2,v_3),\qquad W=(w_1,w_2,w_3),
o produto escalar é definido por
V\cdot W = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3.
  • Regra chave: V e W são ortogonais se, e somente se,
V\cdot W = 0.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado. Identificamos as componentes:
v_1=1,\quad v_2=k,\quad v_3=2,
w_1=3,\quad w_2=-1,\quad w_3=4.
Então o produto escalar é
V\cdot W = 1\cdot 3 + k\cdot(-1) + 2\cdot 4.

Passo 4

Calcule cada termo da soma explicitamente:
1\cdot 3 = 3,
k\cdot(-1) = -k,
2\cdot 4 = 8.
Portanto
V\cdot W = 3 - k + 8 = 11 - k.

Passo 5

Impondo a condição de ortogonalidade V\cdot W=0, obtemos a equação
11 - k = 0.
Resolvendo para k:
k = 11.

Passo 6

Verificação direta substituindo k=11:
V=(1,11,2),\quad W=(3,-1,4),
V\cdot W = 1\cdot 3 + 11\cdot(-1) + 2\cdot 4 = 3 - 11 + 8 = 0,
confirma que com k=11 os vetores são de fato ortogonais.

Passo 7

Interpretação rápida e exemplo adicional para fixar: escolher k=11 ajusta a segunda componente de V para “cancelar” as contribuições das outras componentes no produto escalar. Um exemplo simples que talvez já conheça: (1,0,0) e (0,1,0) são ortogonais porque o produto escalar (1)(0)+(0)(1)+(0)(0)=0. Aqui fizemos a mesma ideia, mas resolvendo uma equação para achar k.

Resposta

k=11

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