Encontre o ângulo entre V=(1,2,3) e W=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede o ângulo entre eles. Dados do problema:
  • Vetor \mathbf{V}=(1,2,3).
  • Vetor \mathbf{W}=(2,1,0).
O que é pedido: encontrar o ângulo \theta entre \mathbf{V} e \mathbf{W}.

Passo 2

Vamos lembrar a relação que conecta produto escalar, normas e o ângulo entre vetores. Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^n vale
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (ou “dot product”),
  • \|\mathbf{a}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{a},
  • \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Explicando cada termo de forma prática:
  • Produto escalar de vetores coordenados é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Norma de um vetor \mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n) é \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}.
    Na prova, a estratégia é: calcular \mathbf{V}\cdot\mathbf{W}, calcular \|\mathbf{V}\| e \|\mathbf{W}\|, e então isolar \cos\theta por
\cos\theta=\frac{\mathbf{V}\cdot\mathbf{W}}{\|\mathbf{V}\|\,\|\mathbf{W}\|},
depois aplicar a função \operatorname{arccos} para obter \theta.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{V}\cdot\mathbf{W}. Pelo componente-a-componente:
\mathbf{V}\cdot\mathbf{W}=1\cdot2+2\cdot1+3\cdot0.
Fazendo as contas:
\mathbf{V}\cdot\mathbf{W}=2+2+0=4.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{V}\| e \|\mathbf{W}\|.
Para \mathbf{V}=(1,2,3):
\|\mathbf{V}\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Para \mathbf{W}=(2,1,0):
\|\mathbf{W}\|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{V}\cdot\mathbf{W}}{\|\mathbf{V}\|\,\|\mathbf{W}\|}=\frac{4}{\sqrt{14}\,\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}}.
Isso já é uma forma exata. Para obter o ângulo, aplicamos \operatorname{arccos}:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{70}}\right).
Se for necessário um valor numérico (útil na prova quando pedem em graus ou radianos), aproximando:
  • \dfrac{4}{\sqrt{70}}\approx 0,478091443,
  • \theta\approx 1,072\\ \text{rad}\approx 61,43^\circ.
Dica prática para prova: deixe a resposta exata como \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{70}}\right). Se pedir em graus, calcule com a calculadora ou tabelas para obter \approx 61,43^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{70}}\right)\approx 1,072\\ \text{rad}\approx 61,43^\circ

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