Encontre o ângulo entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores e pede o ângulo entre eles. Dados do problema:
- Vetor
. - Vetor
.
O que é pedido: encontrar o ângulo
entre
e
.
Passo 2
Vamos lembrar a relação que conecta produto escalar, normas e o ângulo entre vetores. Para dois vetores
e
em
vale
onde:
-
é o produto escalar (ou “dot product”), -
é a norma (comprimento) de , -
é o ângulo entre e .
Explicando cada termo de forma prática:
- Produto escalar de vetores coordenados é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
- Norma de um vetor
é .
Na prova, a estratégia é: calcular, calcular e , e então isolar por
depois aplicar a função
para obter
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Pelo componente-a-componente:
Fazendo as contas:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
Isso já é uma forma exata. Para obter o ângulo, aplicamos
:
Se for necessário um valor numérico (útil na prova quando pedem em graus ou radianos), aproximando:
-
, -
.
Dica prática para prova: deixe a resposta exata como
. Se pedir em graus, calcule com a calculadora ou tabelas para obter
.