Se V=(0,3,-4), encontre o vetor W que tenha a mesma direção de V, sentido oposto ao de V e norma 10.

Passo 1

O enunciado dá o vetor V=(0,3,-4) e pede para encontrar um vetor W que satisfaça três condições:
  • tenha a mesma direção de V;
  • tenha sentido oposto ao de V;
  • tenha norma igual a 10.
Informações relevantes fornecidas:
  • V=(0,3,-4).
  • Norma desejada para W: 10.

Passo 2

Primeiro preciso calcular a norma (comprimento) de V. Para um vetor em \mathbb{R}^3 dado por V=(V_1,V_2,V_3), a norma é definida por
\|V\|=\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2}.
Aqui V_1=0, V_2=3, V_3=-4. Então
\|V\|=\sqrt{0^2+3^2+(-4)^2}=\sqrt{0+9+16}=\sqrt{25}=5.
Isso significa que o vetor V tem comprimento 5.

Passo 3

Para obter um vetor com a mesma direção de V mas com norma 1 (vetor unitário), divide-se V pela sua norma. A definição de vetor unitário na mesma direção é
u=\frac{V}{\|V\|}.
Aplicando aos valores:
u=\frac{1}{5}(0,3,-4)=\left(0,\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).
Esse u tem direção igual à de V e norma 1.

Passo 4

O enunciado pede sentido oposto ao de V. O vetor unitário com sentido oposto é simplesmente -u. Então
-u=\left(0,-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Lembrete: multiplicar por -1 inverte o sentido do vetor sem mudar sua direção (apenas a torna oposta) e mantém a norma.

Passo 5

Agora queremos que o vetor final W tenha norma 10. Se temos um vetor unitário na direção desejada (aqui -u), basta multiplicá-lo por 10:
W=10\cdot(-u)=10\left(0,-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
W=\left(0,\;10\cdot\left(-\frac{3}{5}\right),\;10\cdot\frac{4}{5}\right)=\left(0,-6,8\right).

Passo 6

Verificação rápida:
  • Norma de W:
\|W\|=\sqrt{0^2+(-6)^2+8^2}=\sqrt{0+36+64}=\sqrt{100}=10,
logo a norma está correta.
  • Sentido oposto: note que W=-2V porque -2(0,3,-4)=(0,-6,8). O fator -2 é negativo (inverte o sentido) e tem módulo 2, que é 10/5, ou seja, -\dfrac{10}{\|V\|}. Em geral a fórmula direta seria
W=-\frac{10}{\|V\|}V.

Resposta

\displaystyle W=(0,-6,8)

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