Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
c) y=f(x)=llx+2 L & se x >=-1 L^2 & se x<-1, no ponto x=-1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x + 2L & se x >= -1 L^2 & se x < -1
O objetivo é encontrar o valor de $ L $ que faz com que essa função seja contínua no ponto $ x = -1 $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como aplicá-lo a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, o que significa uma função ser contínua em um ponto? Em termos simples, uma função é contínua no ponto $ x = a $ se o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ por qualquer caminho é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
x = a
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em $ x = -1 $.

Passo 3

Como nossa função é definida por partes, precisamos analisar o limite quando $ x $ se aproxima de $ -1 $ pela esquerda e pela direita, e garantir que ambos os limites sejam iguais e também iguais ao valor da função em $ x = -1 $.

Passo 4

Vamos calcular o limite pela direita ($ x \to -1^+ $):
x to -1^+
Agora, o limite pela esquerda ($ x \to -1^- $):
limx to -1^+ f(x) = limx to -1^+ (x + 2L) = (-1) + 2L = 2L - 1
E o valor da função em $ x = -1 $:
x to -1^-

Passo 5

Para que a função seja contínua em $ x = -1 $, os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Portanto, temos:
x = -1
Vamos rearranjar a equação para resolver para $ L $:
2L - 1 = L^2
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 6

Fatorando a equação:
(L - 1)^2 = 0
Portanto:
L - 1 = 0 implies L = 1

Resposta

O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = -1 $ é $ L = 1 $.

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