Determine o valor de
para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
c)
, no ponto
.
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar o valor de $ L $ que faz com que essa função seja contínua no ponto $ x = -1 $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como aplicá-lo a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, o que significa uma função ser contínua em um ponto? Em termos simples, uma função é contínua no ponto $ x = a $ se o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ por qualquer caminho é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em $ x = -1 $.
Passo 3
Como nossa função é definida por partes, precisamos analisar o limite quando $ x $ se aproxima de $ -1 $ pela esquerda e pela direita, e garantir que ambos os limites sejam iguais e também iguais ao valor da função em $ x = -1 $.
Passo 4
Vamos calcular o limite pela direita ($ x \to -1^+ $):
Agora, o limite pela esquerda ($ x \to -1^- $):
E o valor da função em $ x = -1 $:
Passo 5
Para que a função seja contínua em $ x = -1 $, os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Portanto, temos:
Vamos rearranjar a equação para resolver para $ L $:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 6
Fatorando a equação:
Portanto:
Resposta
O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = -1 $ é $ L = 1 $.