Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
j) h(t)=(2 k a^k t+n)^p

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função $ h(t) = \left(2 k a^{k t} + n\right)^{p} $ usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a aplicação da regra da cadeia para derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como diferenciar funções com potências e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam a composição. Temos uma função externa $ \left( \cdot \right)^{p} $ e uma função interna $ 2 k a^{k t} + n $. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de $ h(t) = \left(2 k a^{k t} + n\right)^{p} $ em relação a $ t $ é:
h(t) = (2 k a^k t + n)^p

Passo 4

Agora, precisamos derivar a parte interna $ 2 k a^{k t} + n $ em relação a $ t $. A constante $ n $ desaparece na derivada, e fica:
2 k a^k t + n
Sabemos que a derivada de $ a^{k t} $ com respeito a $ t $ é $ a^{k t} \ln(a) \cdot k $.

Passo 5

Substituindo a derivada da parte interna na expressão do Passo 3:
h'(t) = p (2 k a^k t + n)^p - 1 cdot (2 k cdot a^k t ln(a) cdot k)
Simplificando os termos:
h'(t) = p (2 k a^k t + n)^p - 1 cdot 2 k^2 a^k t ln(a)

Resposta

Portanto, a derivada de $ h(t) $ é:
h(t)

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