Determine o valor de
para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
d)
, no ponto
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de $ L $ que faz com que a função $ f(x) $ seja contínua no ponto $ x = 0 $. A função está definida de duas formas diferentes dependendo de $ x $ ser menor que 0 ou maior ou igual a 0. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade, que essencialmente significa que não tem “quebra” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ x = 0 $. Isso quer dizer que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0) deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita (valores maiores ou iguais a 0) e também igual ao valor da função em $ x = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, $ x \to 0^- $. Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Isso porque qualquer número elevado a 0 é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, ou seja, $ x \to 0^+ $. Aqui usamos a segunda parte da função:
Quando $ x $ tende a 0, o termo $ x $ desaparece.
Passo 5
Para a função ser contínua em $ x = 0 $, esses dois limites precisam ser iguais. Então, igualamos:
Agora é só resolver essa equação para encontrar $ L $.
Resposta
Resolvendo $ 2L = 1 $, temos $ L = \frac{1}{2} $. Portanto, o valor de $ L $ deve ser $ \frac{1}{2} $ para que a função seja contínua em $ x = 0 $.