Verifique se as seguintes funções são contínuas.
c) y=f(x)= 1-x1-x^3 & x neq 1 1 & x=1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=1-x1-x^3,&xneq11,&x=1
O conteúdo envolve continuidade de funções e limite pontual. Precisamos verificar onde essa função é contínua, em especial no ponto x=1.

Passo 2

Para xneq1, tanto o numerador 1-x quanto o denominador 1-x^3 são polinômios (logo contínuos) e o denominador não se anula. Logo f(x)=1-x1-x^3 é quociente de funções contínuas com denominador não zero, isto é, contínua em todo Rsetminus1.

Passo 3

Em x=1, calculamos o limite:
Simplificando
1-x1-x^3=1-x(1-x)(1+x+x^2)=11+x+x^2, xneq1
Logo
$$\lim_{x\to1}f(x)=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}.
$$
Como limxto1f(x)=11+1+1=13 e o limite é f(1)=1, não coincidem, ou seja, não há continuidade em 1/3.

Passo 4

Concluímos que f é contínua em todos os pontos xneq1 e descontínua em x=1. Como o limite existe mas difere de f(1), essa descontinuidade é removível.

Resposta

f é contínua em Rsetminus1 e tem descontinuidade removível em x=1.

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