Determine o valor de m para que a ED.O. \left(\frac{(3-m) x}{y^{3}}+m y^{4}+3\right) d x+\left(\frac{\left(13-m^{2}\right) x^{2}}{y^{4}}+\left(2 m^{2}-70\right) x y^{3}\right) d y=0 \quad seja exata.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de m para que a equação diferencial
\left(\frac{(3-m) x}{y^{3}}+m y^{4}+3\right) d x+\left(\frac{\left(13-m^{2}\right) x^{2}}{y^{4}}+\left(2 m^{2}-70\right) x y^{3}\right) d y=0
seja exata.
Informações dadas relevantes:
M(x,y)=\frac{(3-m) x}{y^{3}}+m y^{4}+3
é o coeficiente de d x e
N(x,y)=\frac{\left(13-m^{2}\right) x^{2}}{y^{4}}+\left(2 m^{2}-70\right) x y^{3}
é o coeficiente de d y. A condição de exatidão envolve derivadas parciais de M e N.

Passo 2

Conceito e critério que vamos usar (aulas rápidas):
Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi = M\,dx + N\,dy. Isso implica as igualdades das derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x,y)
para todos (x,y) do domínio considerado. Aqui \partial/\partial y significa derivar \emph{mantendo x fixo} e \partial/\partial x significa derivar \emph{mantendo y fixo}. Vamos calcular essas derivadas e impor a igualdade para encontrar m.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} passo a passo.
Escrevemos novamente
M(x,y)=\frac{(3-m)x}{y^{3}} + m y^{4} + 3.
Derivamos termo a termo em relação a y, lembrando que \frac{d}{dy}\big(y^{-3}\big)=-3y^{-4} e \frac{d}{dy}\big(y^{4}\big)=4y^{3}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{(3-m)x}{y^{3}}\right) = (3-m)x\cdot(-3)y^{-4} = \frac{3m-9}{y^{4}}\,x.
Derivada do segundo termo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(m y^{4}\big) = 4m y^{3}.
Derivada do terceiro termo 3 é zero. Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = \frac{(3m-9)x}{y^{4}} + 4m y^{3}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} passo a passo.
Escrevemos
N(x,y)=\frac{(13-m^{2})x^{2}}{y^{4}} + (2m^{2}-70)\,x\,y^{3}.
Derivamos termo a termo em relação a x, tratando y como constante.
Derivada do primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{(13-m^{2})x^{2}}{y^{4}}\right) = \frac{2(13-m^{2})x}{y^{4}}.
Derivada do segundo termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big((2m^{2}-70)x y^{3}\big) = (2m^{2}-70)\,y^{3}.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) = \frac{2(13-m^{2})x}{y^{4}} + (2m^{2}-70)\,y^{3}.

Passo 5

Impor a condição de exatidão \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} e manipular.
Igualando as expressões obtidas:
\frac{(3m-9)x}{y^{4}} + 4m y^{3} = \frac{2(13-m^{2})x}{y^{4}} + (2m^{2}-70)\,y^{3}.
Multiplicamos ambos os lados por y^{4} para eliminar denominadores:
(3m-9)x + 4m\,y^{7} = 2(13-m^{2})x + (2m^{2}-70)\,y^{7}.
Agora observamos que essa igualdade deve valer para todo par (x,y) do domínio; como x e y^{7} são funções independentes (podemos variar x e y livremente), os coeficientes que acompanham x e os coeficientes que acompanham y^{7} devem ser iguais separadamente. Assim obtemos o sistema de equações em m:
\begin{cases} 3m-9 = 2(13-m^{2}) \\[4pt] 4m = 2m^{2}-70 \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para m.
Primeiro resolver a segunda equação:
4m = 2m^{2}-70 \quad\Longrightarrow\quad 2m^{2}-4m-70=0.
Dividindo por 2:
m^{2}-2m-35=0.
É uma quadrática que fatoriza como
(m-7)(m+5)=0,
portanto as soluções são \,m=7 e \,m=-5.
Agora verificamos a primeira equação para ambas soluções (precisamos que ambas equações sejam satisfeitas simultaneamente, pois a igualdade deve valer para todo (x,y)).
Primeira equação:
3m-9 = 2(13-m^{2}) = 26 - 2m^{2}.
Para m=7:
3\cdot7-9 = 21-9=12,
26-2\cdot7^{2} = 26-98 = -72.
Então 12 \neq -72, logo m=7 não satisfaz a primeira equação (é extranho, portanto m=7 não garante exatidão).
Para m=-5:
3\cdot(-5)-9 = -15-9 = -24,
26-2\cdot(-5)^{2} = 26-2\cdot25 = 26-50 = -24.
Aqui as duas igualdades coincidem, então m=-5 satisfaz ambas as condições.
Conclusão: o único valor de m que torna a equação exata é \,m=-5.

Resposta

-5

Exercícios relacionados