Determine o valor de
para que a ED.O.
seja exata.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
para que a equação diferencial
seja exata.
Informações dadas relevantes:
é o coeficiente de e
é o coeficiente de . A condição de exatidão envolve derivadas parciais de
e
.
é o coeficiente de
é o coeficiente de
Passo 2
Conceito e critério que vamos usar (aulas rápidas):
Uma equação diferencial na forma
Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica as igualdades das derivadas parciais cruzadas:
para todos
do domínio considerado. Aqui
significa derivar \emph{mantendo
fixo} e
significa derivar \emph{mantendo
fixo}. Vamos calcular essas derivadas e impor a igualdade para encontrar
.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Escrevemos novamente
Derivamos termo a termo em relação a
, lembrando que
e
.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Derivada do terceiro termo
é zero. Portanto
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Escrevemos
Derivamos termo a termo em relação a
, tratando
como constante.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Portanto
Passo 5
Impor a condição de exatidão
e manipular.
Igualando as expressões obtidas:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora observamos que essa igualdade deve valer para todo par
do domínio; como
e
são funções independentes (podemos variar
e
livremente), os coeficientes que acompanham
e os coeficientes que acompanham
devem ser iguais separadamente. Assim obtemos o sistema de equações em
:
Passo 6
Resolver o sistema para
.
Primeiro resolver a segunda equação:
Dividindo por
:
É uma quadrática que fatoriza como
portanto as soluções são
e
.
Agora verificamos a primeira equação para ambas soluções (precisamos que ambas equações sejam satisfeitas simultaneamente, pois a igualdade deve valer para todo
).
Primeira equação:
Para
:
Então
, logo
não satisfaz a primeira equação (é extranho, portanto
não garante exatidão).
Para
:
Aqui as duas igualdades coincidem, então
satisfaz ambas as condições.
Conclusão: o único valor de
que torna a equação exata é
.