Resolver as E.D.O.s abaixo usando um fator integrante:
\left(-2 x^{5}+y x^{4}\right) d x+\left(2 x^{4} y+x^{5}+6 x^{4} \mathrm{e}^{3 y}\right) d y=0

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
\left(-2 x^{5}+y x^{4}\right) d x+\left(2 x^{4} y+x^{5}+6 x^{4} e^{3 y}\right) d y=0.
O que nos é dado:
M(x,y)=-2 x^{5}+x^{4}y, \qquad N(x,y)=2 x^{4}y+x^{5}+6 x^{4}e^{3y}.
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da E.D.O. (uma solução implícita) usando um fator integrante.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Lembre que uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\;x^{4},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2 x^{4}y+x^{5}+6 x^{4}e^{3y}\big) =8x^{3}y+5x^{4}+24x^{3}e^{3y}.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata inicialmente. Precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x, isto é \mu=\mu(x). A condição para \mu(x) é
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
Calculamos o lado direito: primeiro o numerador
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} = x^{4} - \big(8x^{3}y+5x^{4}+24x^{3}e^{3y}\big) = -4x^{4}-8x^{3}y-24x^{3}e^{3y}.
Fatorando -4x^{3} obtemos
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} = -4x^{3}\big(x+2y+6e^{3y}\big).
O denominador N é
N=x^{4}\big(2y+x+6e^{3y}\big).
Dividindo,
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{-4x^{3}\big(x+2y+6e^{3y}\big)}{x^{4}\big(x+2y+6e^{3y}\big)} =-\frac{4}{x}.
Ótimo: esse quociente depende só de x, portanto existe \mu(x). Agora integramos:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{4}{x} \quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int -\frac{4}{x}\,dx=-4\ln x,
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\mu(x)=x^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4}. Os novos coeficientes são
\tilde{M}(x,y)=x^{-4}M(x,y)=x^{-4}\big(-2x^{5}+x^{4}y\big)=-2x+y,
\tilde{N}(x,y)=x^{-4}N(x,y)=x^{-4}\big(2x^{4}y+x^{5}+6x^{4}e^{3y}\big)=2y+x+6e^{3y}.
Verificamos exatidão agora:
\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial \tilde{N}}{\partial x}=1,
portanto a equação é exata após multiplicarmos pelo fator integrante x^{-4}.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde{M}=-2x+y, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde{N}=x+2y+6e^{3y}.
Integramos \tilde{M} em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int(-2x+y)\,dx=-x^{2}+xy+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 6

Agora diferenciamos \Phi obtida em relação a y e igualamos a \tilde{N} para encontrar h(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x+h'(y).
Igualando a \tilde{N}:
x+h'(y)=x+2y+6e^{3y}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y+6e^{3y}.
Integramos h'(y):
h(y)=\int(2y+6e^{3y})\,dy=y^{2}+2e^{3y}+C,
pois \int 6e^{3y}dy=6\cdot\frac{1}{3}e^{3y}=2e^{3y}.

Passo 7

Substituímos h(y) em \Phi. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=-x^{2}+xy+y^{2}+2e^{3y}+C.
A solução geral implícita da E.D.O. é \Phi(x,y)=\text{const}, ou seja
-x^{2}+xy+y^{2}+2e^{3y}=C.
Parabéns — resolvemos com fator integrante! Se quiser, dá para isolar C ou reescrever a solução de outra forma, mas essa forma implícita é a resposta padrão.

Resposta

-x^{2}+xy+y^{2}+2e^{3y}=C

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