Resolver as E.D.O.s abaixo usando um fator integrante:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que nos é dado:
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da E.D.O. (uma solução implícita) usando um fator integrante.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata. Lembre que uma equação
é exata se
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata inicialmente. Precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
, isto é
. A condição para
é
Calculamos o lado direito: primeiro o numerador
Fatorando
obtemos
O denominador
é
Dividindo,
Ótimo: esse quociente depende só de
, portanto existe
. Agora integramos:
logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Os novos coeficientes são
Verificamos exatidão agora:
portanto a equação é exata após multiplicarmos pelo fator integrante
.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Agora diferenciamos
obtida em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Igualando a
:
Integramos
:
pois
.
Passo 7
Substituímos
em
. Assim a função potencial é
A solução geral implícita da E.D.O. é
, ou seja
Parabéns — resolvemos com fator integrante! Se quiser, dá para isolar
ou reescrever a solução de outra forma, mas essa forma implícita é a resposta padrão.