Resolver as E.D.O.s abaixo:
\left(9 x^{2} y^{4}+150(3 x-y)^{4}\right) d x+\left(12 x^{3} y^{3}-50(3 x-y)^{4}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
\left(9 x^{2} y^{4}+150(3 x-y)^{4}\right) d x+\left(12 x^{3} y^{3}-50(3 x-y)^{4}\right) d y=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=9 x^{2} y^{4}+150(3 x-y)^{4},
N(x,y)=12 x^{3} y^{3}-50(3 x-y)^{4},
e a equação está na forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
A tarefa é encontrar a solução geral (a família de curvas implícitas) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a equação é exata. Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se as derivadas parciais satisfazem
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
numa região considerada. Vamos calcular as duas derivadas parciais cuidadosamente.
Calculemos \partial M/\partial y. Como M(x,y)=9 x^{2} y^{4}+150(3 x-y)^{4}, temos
\frac{\partial}{\partial y}\big(9 x^{2} y^{4}\big)=9 x^{2}\cdot 4 y^{3}=36 x^{2} y^{3}.
Para a segunda parcela use a regra da cadeia: se u=3x-y, então \frac{d}{dy}u=-1. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(150(3x-y)^{4}\big)=150\cdot 4(3x-y)^{3}\cdot(-1)=-600(3x-y)^{3}.
Somando,
\frac{\partial M}{\partial y}=36 x^{2} y^{3}-600(3x-y)^{3}.
Agora calculemos \partial N/\partial x. Como N(x,y)=12 x^{3} y^{3}-50(3 x-y)^{4}, temos
\frac{\partial}{\partial x}\big(12 x^{3} y^{3}\big)=12\cdot 3 x^{2} y^{3}=36 x^{2} y^{3}.
Para a segunda parcela, com u=3x-y, \frac{du}{dx}=3, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-50(3x-y)^{4}\big)=-50\cdot 4(3x-y)^{3}\cdot 3=-600(3x-y)^{3}.
Somando,
\frac{\partial N}{\partial x}=36 x^{2} y^{3}-600(3x-y)^{3}.

Passo 3

Comparando os resultados obtemos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=36 x^{2} y^{3}-600(3x-y)^{3}.
Portanto a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C, com C constante.

Passo 4

Vamos encontrar \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante) e adicionando uma função arbitrária de y, digamos h(y).
Integramos termo a termo:
\int 9 x^{2} y^{4}\,dx = 9 y^{4}\int x^{2}\,dx = 9 y^{4}\cdot \frac{x^{3}}{3}=3 x^{3} y^{4}.
Para \int 150(3x-y)^{4}\,dx fazemos a substituição u=3x-y. Então du=3\,dx ou dx=\frac{du}{3}. Assim
\int 150(3x-y)^{4}\,dx = 150\int u^{4}\cdot\frac{du}{3}=50\int u^{4}\,du=50\cdot\frac{u^{5}}{5}=10u^{5}.
Voltando a x,y, isto é 10(3x-y)^{5}.
Portanto uma primitiva em relação a x é
\Phi(x,y)=3 x^{3} y^{4}+10(3x-y)^{5}+h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y a determinar.

Passo 5

Agora usamos a condição \partial \Phi/\partial y = N(x,y) para determinar h(y).
Calculemos \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{3} y^{4}\big)=12 x^{3} y^{3}.
Para a parcela 10(3x-y)^{5} aplicamos a regra da cadeia: derivada é 10\cdot 5(3x-y)^{4}\cdot(-1)=-50(3x-y)^{4}.
Somando e adicionando h'(y), obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=12 x^{3} y^{3}-50(3x-y)^{4}+h'(y).
Mas sabemos que isso deve ser igual a N(x,y)=12 x^{3} y^{3}-50(3x-y)^{4}. Comparando os dois lados,
h'(y)=0.
Logo h(y) é uma constante, que absorvemos na constante global C.

Passo 6

Concluímos que a função potencial é, até uma constante,
\Phi(x,y)=3 x^{3} y^{4}+10(3x-y)^{5}.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
3 x^{3} y^{4}+10(3x-y)^{5}=C,
onde C é constante arbitrária. Esta é a família de curvas que resolvem a E.D.O.

Resposta

3 x^{3} y^{4}+10(3x-y)^{5}=C

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