Resolver as E.D.O.s abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
e a equação está na forma diferencial
A tarefa é encontrar a solução geral (a família de curvas implícitas) que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se a equação é exata. Uma equação
é exata se as derivadas parciais satisfazem
numa região considerada. Vamos calcular as duas derivadas parciais cuidadosamente.
Calculemos
. Como
, temos
Para a segunda parcela use a regra da cadeia: se
, então
. Assim
Somando,
Agora calculemos
. Como
, temos
Para a segunda parcela, com
,
, então
Somando,
Passo 3
Comparando os resultados obtemos
Portanto a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e a solução geral é dada implicitamente por
, com
constante.
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e adicionando uma função arbitrária de
, digamos
.
Integramos termo a termo:
Para
fazemos a substituição
. Então
ou
. Assim
Voltando a
, isto é
.
Portanto uma primitiva em relação a
é
onde
é função desconhecida de
a determinar.
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
.
Calculemos
:
Para a parcela
aplicamos a regra da cadeia: derivada é
.
Somando e adicionando , obtemos
Somando e adicionando
Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Comparando os dois lados,
Logo
é uma constante, que absorvemos na constante global
.
Passo 6
Concluímos que a função potencial é, até uma constante,
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
onde
é constante arbitrária. Esta é a família de curvas que resolvem a E.D.O.