Resolver as E.D.O.s abaixo:
Passo 1
Enunciado: Resolver a equação diferencial
O que o problema pede: encontrar a solução geral (família de curvas)
— ou uma solução implícita — que satisfaça essa equação diferencial.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- A equação está na forma diferencial total
. - Podemos identificar
A resolução começará agora.
Passo 2
Conhecer o critério de exatidão (miniaula): uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma forma prática de verificar exatidão é checar se as derivadas parciais mistas coincidem:
Aqui vamos calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
.
Temos . A segunda parcela não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero. Para a primeira parcela, trate
como constante:
Temos
Logo
Passo 4
Cálculo de
.
Temos . Diferenciando em relação a
(com
constante):
Temos
Comparando com o passo anterior, vemos que
portanto a forma é exata. Isso nos diz que existe uma função potencial
com
e
.
Passo 5
Construção da função potencial
(miniaula): para encontrar
integramos
em relação a
, tratando
como constante, e adicionamos uma função arbitrária de
(pois a derivação parcial em
anula qualquer função que dependa só de
). Ou seja,
Calculamos a integral de
em
termo a termo.
Passo 6
Integral do primeiro termo de
:
Explicação:
.
Passo 7
Integral do segundo termo de
:
Fazemos substituição
, então
. Assim
Como estamos construindo
, incorporamos constantes em
. Note que
para todo
, então podemos omitir barras de valor absoluto se quisermos.
Passo 8
Somando os resultados do Passo 6 e Passo 7, obtemos uma expressão para
:
onde
é função desconhecida de
.
Passo 9
Determinação de
comparando com
. Miniaula rápida: como
deve ser igual a
, diferenciamos a expressão acima em relação a
e igualamos a
.
Derivando:
Derivando:
A derivada de
em relação a
é zero (não depende de
). A derivada de
é
. Assim
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Portanto
Integramos:
, constante arbitrária.
Passo 10
Concluir a solução geral: substituindo
em
e escrevendo a condição
, obtemos a solução implícita:
Podemos reescrever de forma mais usual:
Se quisermos isolar
, fazemos álgebra:
Mas normalmente deixamos a solução na forma implícita com
, que é perfeitamente aceitável em provas.