Resolver as E.D.O.s abaixo:
\left(\frac{10}{x^{2} y}+\frac{12 x}{x^{2}+4}\right) d x+\left(\frac{10}{x y^{2}}\right) d y=0

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação diferencial
\left(\frac{10}{x^{2} y}+\frac{12 x}{x^{2}+4}\right) d x+\left(\frac{10}{x y^{2}}\right) d y=0.
O que o problema pede: encontrar a solução geral (família de curvas) y(x) — ou uma solução implícita — que satisfaça essa equação diferencial.
Informações dadas relevantes:
  • A equação está na forma diferencial total M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Podemos identificar
M(x,y)=\frac{10}{x^{2}y}+\frac{12x}{x^{2}+4}, \qquad N(x,y)=\frac{10}{x y^{2}}.
A resolução começará agora.

Passo 2

Conhecer o critério de exatidão (miniaula): uma equação diferencial na forma \;M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\; é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Uma forma prática de verificar exatidão é checar se as derivadas parciais mistas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui vamos calcular essas derivadas parciais passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}.
Temos M(x,y)=\dfrac{10}{x^{2}y}+\dfrac{12x}{x^{2}+4}. A segunda parcela não depende de y, então sua derivada em relação a y é zero. Para a primeira parcela, trate x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{10}{x^{2}y}\right) = \frac{10}{x^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(y^{-1}\right) = \frac{10}{x^{2}}\cdot(-1)y^{-2} = -\frac{10}{x^{2}y^{2}}.
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\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{10}{x^{2}y^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}.
Temos N(x,y)=\dfrac{10}{x y^{2}}=\dfrac{10}{y^{2}}\cdot x^{-1}. Diferenciando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{10}{y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{-1}\right) = \frac{10}{y^{2}}\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{10}{x^{2}y^{2}}.
Comparando com o passo anterior, vemos que
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
portanto a forma é exata. Isso nos diz que existe uma função potencial \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 5

Construção da função potencial \Phi(x,y) (miniaula): para encontrar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante, e adicionamos uma função arbitrária de y (pois a derivação parcial em x anula qualquer função que dependa só de y). Ou seja,
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx + h(y).
Calculamos a integral de M em x termo a termo.

Passo 6

Integral do primeiro termo de M:
\int \frac{10}{x^{2}y}\,dx = \frac{10}{y}\int x^{-2}\,dx = \frac{10}{y}\cdot(-x^{-1}) = -\frac{10}{x y}.
Explicação: \int x^{-2}dx = -x^{-1}.

Passo 7

Integral do segundo termo de M:
\int \frac{12x}{x^{2}+4}\,dx.
Fazemos substituição u=x^{2}+4, então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{12x}{x^{2}+4}\,dx = 6\int \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx = 6\int \frac{du}{u} = 6\ln|u| + C = 6\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C.
Como estamos construindo \Phi, incorporamos constantes em h(y). Note que x^{2}+4>0 para todo x, então podemos omitir barras de valor absoluto se quisermos.

Passo 8

Somando os resultados do Passo 6 e Passo 7, obtemos uma expressão para \Phi:
\Phi(x,y) = -\frac{10}{x y} + 6\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y.

Passo 9

Determinação de h(y) comparando com N. Miniaula rápida: como \Phi_y deve ser igual a N, diferenciamos a expressão acima em relação a y e igualamos a N(x,y).
Derivando:
\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{10}{x y}\right) = -\frac{10}{x}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(y^{-1}\right) = -\frac{10}{x}\cdot(-1)y^{-2} = \frac{10}{x y^{2}}.
A derivada de 6\ln(x^{2}+4) em relação a y é zero (não depende de y). A derivada de h(y) é h'(y). Assim
\Phi_y = \frac{10}{x y^{2}} + h'(y).
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=\dfrac{10}{x y^{2}}. Portanto
\frac{10}{x y^{2}} + h'(y) = \frac{10}{x y^{2}} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Integramos: h(y)=C, constante arbitrária.

Passo 10

Concluir a solução geral: substituindo h(y)=C em \Phi e escrevendo a condição \Phi(x,y)=\text{constante}, obtemos a solução implícita:
-\frac{10}{x y} + 6\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) = C.
Podemos reescrever de forma mais usual:
6\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)-\frac{10}{x y}=C.
Se quisermos isolar y, fazemos álgebra:
-\frac{10}{x y}=C-6\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{10}{x\bigl(C-6\ln(x^{2}+4)\bigr)}.
Mas normalmente deixamos a solução na forma implícita com \Phi(x,y)=\text{constante}, que é perfeitamente aceitável em provas.

Resposta

6\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)-\dfrac{10}{x y}=C

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