Determine o valor do limite, se existir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,1)} \frac{(x-3)(y-1)}{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(3,1)} \frac{(x-3)(y-1)}{(x-3)^2+(y-1)^2}.
Informações dadas:
  • A função é a razão \dfrac{(x-3)(y-1)}{(x-3)^2+(y-1)^2}.
  • O ponto de interesse é (3,1).
    O que se quer: saber se existe um valor único L tal que a expressão se aproxima de L quando (x,y) se aproxima de (3,1) por qualquer caminho.

Passo 2

Para simplificar, faço a translação do ponto para a origem, definindo
u = x-3,\qquad v = y-1.
Assim o problema vira o limite quando (u,v)\to(0,0) de
\frac{uv}{u^2+v^2}.
Explicação didática: essa mudança só desloca o centro do limite para (0,0), deixando a forma da expressão mais limpa; limites são invariantes por tais translações.

Passo 3

Uma ferramenta útil para problemas com u^2+v^2 no denominador é usar coordenadas polares:
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo. Aqui r\to0^+ corresponde a (u,v)\to(0,0) por qualquer direção \theta.
Substituindo:
\frac{uv}{u^2+v^2} = \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^2} = \cos\theta\sin\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta).
Aulasinha rápida: note que o fator r^2 no numerador cancela com o r^2 do denominador, deixando somente uma função de \theta. Isso significa que, ao aproximar a origem, o valor limite tende a depender só do ângulo de aproximação, não do raio.

Passo 4

Interpretação importante: o valor do quociente quando (u,v) se aproxima de (0,0) tende para \dfrac{1}{2}\sin(2\theta), que depende de \theta. Para que o limite exista em duas variáveis, esse valor teria de ser o mesmo para todo \theta. Como \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) varia com \theta, já há forte indicação de que o limite não é único.

Passo 5

Vou mostrar dois caminhos concretos com resultados diferentes para fixar a ideia (isso prova que não existe limite único):
  • Caminho 1: tomar v=u (ou seja, aproximar pela reta y-1=x-3). Nesse caso v=u, então
\frac{uv}{u^2+v^2}=\frac{u\cdot u}{u^2+u^2}=\frac{u^2}{2u^2}=\frac{1}{2}
para todo u\neq0. Portanto ao ir para a origem por essa reta o valor tende para \dfrac{1}{2}. Em coordenadas polares isso corresponde a \theta=\dfrac{\pi}{4} e \dfrac{1}{2}\sin(2\theta)=\dfrac{1}{2}\sin(\pi/2)=\dfrac{1}{2}.
  • Caminho 2: tomar v=-u (aproximação pela reta y-1=-(x-3)). Então
\frac{uv}{u^2+v^2}=\frac{u\cdot(-u)}{u^2+(-u)^2}=\frac{-u^2}{2u^2}=-\frac{1}{2}.
Nesse caminho o valor tende para -\dfrac{1}{2}. Em polares: \theta=-\dfrac{\pi}{4} e \dfrac{1}{2}\sin(2\theta)=-\dfrac{1}{2}.
Como dois caminhos deram limites distintos ( \tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}), isso já prova que não existe limite único quando (x,y)\to(3,1).

Passo 6

Comentário final de compreensão: embora a expressão seja limitada (pois \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) fica entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}), a dependência angular impede a existência de um único valor limite. Lembre-se: em limites de funções de duas variáveis, se existir qualquer par de caminhos com limites diferentes, o limite total não existe.

Resposta

Não existe

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