Determine o valor do limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função é a razão
. - O ponto de interesse é
.
O que se quer: saber se existe um valor únicotal que a expressão se aproxima de quando se aproxima de por qualquer caminho.
Passo 2
Para simplificar, faço a translação do ponto para a origem, definindo
Assim o problema vira o limite quando
de
Explicação didática: essa mudança só desloca o centro do limite para
, deixando a forma da expressão mais limpa; limites são invariantes por tais translações.
Passo 3
Uma ferramenta útil para problemas com
no denominador é usar coordenadas polares:
onde
e
é o ângulo. Aqui
corresponde a
por qualquer direção
.
Substituindo:
Substituindo:
Aulasinha rápida: note que o fator
no numerador cancela com o
do denominador, deixando somente uma função de
. Isso significa que, ao aproximar a origem, o valor limite tende a depender só do ângulo de aproximação, não do raio.
Passo 4
Interpretação importante: o valor do quociente quando
se aproxima de
tende para
, que depende de
. Para que o limite exista em duas variáveis, esse valor teria de ser o mesmo para todo
. Como
varia com
, já há forte indicação de que o limite não é único.
Passo 5
Vou mostrar dois caminhos concretos com resultados diferentes para fixar a ideia (isso prova que não existe limite único):
- Caminho 1: tomar
(ou seja, aproximar pela reta ). Nesse caso , então
para todo
. Portanto ao ir para a origem por essa reta o valor tende para
. Em coordenadas polares isso corresponde a
e
.
- Caminho 2: tomar
(aproximação pela reta ). Então
Nesse caminho o valor tende para
. Em polares:
e
.
Como dois caminhos deram limites distintos (
e
), isso já prova que não existe limite único quando
.
Passo 6
Comentário final de compreensão: embora a expressão seja limitada (pois
fica entre
e
), a dependência angular impede a existência de um único valor limite. Lembre-se: em limites de funções de duas variáveis, se existir qualquer par de caminhos com limites diferentes, o limite total não existe.
Resposta
Não existe