A função considerada é f(x,y)=x^{2}\ln\!\big(3x^{2}+y^{2}\big).
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
Note que o argumento do logaritmo é 3x^{2}+y^{2}\ge 0; para pontos próximos de (0,0) com (x,y)\ne(0,0) temos 3x^{2}+y^{2}>0, então o logaritmo está bem definido ao aproximar o ponto.
O objetivo é mostrar se o produto de x^{2} (que vai para 0) por \ln(3x^{2}+y^{2}) (que vai para -\infty) tem limite e qual é esse limite.
Passo 2
Estratégia: substituir u=3x^{2}+y^{2} (então u\to 0^{+} quando (x,y)\to(0,0)) e comparar x^{2} com u para obter uma desigualdade do tipo |x^{2}\ln u|\le algo que tenda a zero quando u\to0^{+}. Primeiro, observe a relação entre x^{2} e u:
Agora mostraremos que \displaystyle \lim_{u\to 0^{+}} u\ln u=0. Uma forma clara é usar L’Hôpital aplicando à forma indeterminada \dfrac{\ln u}{1/u}. Escrevendo:
Uma função cuja valor absoluto tende a 0 tem limite 0. Assim o limite pedido existe e vale 0.
Passo 5
Intuição extra (rápida): ao caminhar por qualquer caminho até (0,0), o termo 3x^{2}+y^{2} tende a zero e o \ln tende a -\infty, mas isso ocorre tão lentamente que ao multiplicar por x^{2} (que tende a zero quadráticamente) o produto é aniquilado — formalmente capturado pela desigualdade usada. Por exemplo, na reta y=0 tem-se x^{2}\ln(3x^{2})=x^{2}\ln 3 + 2x^{2}\ln|x| e ambas as parcelas tendem a 0.