Determine o valor do limite, se existir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}\ln\!\big(3x^{2}+y^{2}\big).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é f(x,y)=x^{2}\ln\!\big(3x^{2}+y^{2}\big).
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Note que o argumento do logaritmo é 3x^{2}+y^{2}\ge 0; para pontos próximos de (0,0) com (x,y)\ne(0,0) temos 3x^{2}+y^{2}>0, então o logaritmo está bem definido ao aproximar o ponto.
  • O objetivo é mostrar se o produto de x^{2} (que vai para 0) por \ln(3x^{2}+y^{2}) (que vai para -\infty) tem limite e qual é esse limite.

Passo 2

Estratégia: substituir u=3x^{2}+y^{2} (então u\to 0^{+} quando (x,y)\to(0,0)) e comparar x^{2} com u para obter uma desigualdade do tipo |x^{2}\ln u|\le algo que tenda a zero quando u\to0^{+}. Primeiro, observe a relação entre x^{2} e u:
u=3x^{2}+y^{2}\ge 3x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}\le \frac{u}{3}.
Portanto, tomando valor absoluto,
\big|x^{2}\ln u\big|\le \frac{u}{3}\,|\ln u|.

Passo 3

Agora mostraremos que \displaystyle \lim_{u\to 0^{+}} u\ln u=0. Uma forma clara é usar L’Hôpital aplicando à forma indeterminada \dfrac{\ln u}{1/u}. Escrevendo:
\lim_{u\to 0^{+}} u\ln u=\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\ln u}{1/u}.
As funções do numerador e denominador tendem a -\infty e +\infty respectivamente, então aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador em u,
\frac{d}{du}(\ln u)=\frac{1}{u},\qquad \frac{d}{du}\big(1/u\big)=-\frac{1}{u^{2}}.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\ln u}{1/u}=\lim_{u\to 0^{+}}\frac{1/u}{-1/u^{2}}=\lim_{u\to 0^{+}}(-u)=0.
Portanto
\lim_{u\to 0^{+}} u\ln u=0.

Passo 4

Retornando à desigualdade do Passo 2, como u=3x^{2}+y^{2}\to 0^{+} quando (x,y)\to(0,0), e já mostramos que u|\ln u|\to 0, segue que
\big|x^{2}\ln(3x^{2}+y^{2})\big|=\big|x^{2}\ln u\big|\le \frac{u}{3}|\ln u|\to 0.
Uma função cuja valor absoluto tende a 0 tem limite 0. Assim o limite pedido existe e vale 0.

Passo 5

Intuição extra (rápida): ao caminhar por qualquer caminho até (0,0), o termo 3x^{2}+y^{2} tende a zero e o \ln tende a -\infty, mas isso ocorre tão lentamente que ao multiplicar por x^{2} (que tende a zero quadráticamente) o produto é aniquilado — formalmente capturado pela desigualdade usada. Por exemplo, na reta y=0 tem-se x^{2}\ln(3x^{2})=x^{2}\ln 3 + 2x^{2}\ln|x| e ambas as parcelas tendem a 0.

Resposta

0

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