Determine o valor (limite) das somas abaixo:
\frac{1}{7}+\frac{2}{7^{2}}+\frac{1}{7^{3}}+\frac{2}{7^{4}}+\frac{1}{7^{5}}+\frac{2}{7^{6}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma infinita
S = \frac{1}{7} + \frac{2}{7^{2}} + \frac{1}{7^{3}} + \frac{2}{7^{4}} + \frac{1}{7^{5}} + \frac{2}{7^{6}} + \cdots
Nessa série, a razão entre termos consecutivos é \tfrac{1}{7}, mas os coeficientes alternam entre 1 (índice ímpar) e 2 (índice par). Para resolver, usaremos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1 - r} \quad\text{para}\quad |r|<1.

Passo 2

Vamos separar S em duas somas:
S = \Bigl(\tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7^{3}} + \tfrac{1}{7^{5}} + \cdots\Bigr) + \Bigl(\tfrac{2}{7^{2}} + \tfrac{2}{7^{4}} + \tfrac{2}{7^{6}} + \cdots\Bigr).

Passo 3

Para a parte de índices ímpares:
\frac{1}{7} + \frac{1}{7^{3}} + \frac{1}{7^{5}} + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{7}\Bigr)^{2m+1} = \frac{\frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{7^{2}}} = \frac{\tfrac{1}{7}}{1 - \tfrac{1}{49}} = \frac{\tfrac{1}{7}}{\tfrac{48}{49}} = \frac{7}{48}.

Passo 4

Para a parte de índices pares:
\frac{2}{7^{2}} + \frac{2}{7^{4}} + \frac{2}{7^{6}} + \cdots = 2 \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{7}\Bigr)^{2m} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{7^{2}}}{1 - \frac{1}{7^{2}}} = 2 \cdot \frac{\tfrac{1}{49}}{\tfrac{48}{49}} = 2 \cdot \frac{1}{48} = \frac{1}{24}.

Passo 5

Somando as duas partes:
S = \frac{7}{48} + \frac{1}{24} = \frac{7}{48} + \frac{2}{48} = \frac{9}{48} = \frac{3}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{16}

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