Numa progressão geométrica de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros termos é 24 . Qual é a razão da progressão?

Passo 1

O enunciado descreve uma progressão geométrica de razão positiva r, cujo primeiro termo a_1 é igual ao dobro da razão, isto é,
a_1 = 2r
e diz que a soma dos dois primeiros termos vale 24:
a_1 + a_2 = 24.
Vamos usar essas informações para montar uma equação em r.

Passo 2

Sabemos que o segundo termo de uma PG é dado por
a_2 = a_1 \cdot r.
Substituindo a_1 = 2r, obtemos
a_2 = 2r \cdot r = 2r^2.

Passo 3

Usando a condição da soma dos dois primeiros termos, temos
a_1 + a_2 = 2r + 2r^2 = 24.
Isso leva à equação
2r^2 + 2r - 24 = 0.

Passo 4

Dividindo tudo por 2 para simplificar, obtemos
r^2 + r - 12 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2},
portanto as raízes são
r = 3 \quad\text{ou}\quad r = -4.

Passo 5

Como o enunciado exige que a razão seja positiva, descartamos r=-4 e ficamos com
r = 3.

Resposta

A razão da progressão geométrica é 3.

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