Determine o valor (limite) das somas abaixo:
2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor do limite da soma infinita
2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} + \cdots
Isso é um problema de séries geométricas infinitas, em que precisamos identificar o primeiro termo e a razão, e então usar a fórmula de soma quando \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Reconhecemos que a soma é uma série geométrica cujo primeiro termo é
a_1 = 2
e cuja razão entre termos consecutivos é
r = \frac{\tfrac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{1}{3} < 1, a série converge.

Passo 3

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita com \lvert r\rvert<1 é
\sum_{n=0}^{\infty} a_1\,r^n = \frac{a_1}{1 - r}.
Aqui temos a_1=2 e r=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo na fórmula, obtemos
\frac{a_1}{1 - r} = \frac{2}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{2}{\tfrac{2}{3}} = 2 \times \frac{3}{2} = 3.

Resposta

O valor da soma infinita é 3.

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