Determine o valor lógico ( V ou F ) considerando o universo dos números reais.
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade, no universo dos números reais, da sentença lógica
Isso significa: “Existe pelo menos um número real
tal que
?” O que nos foi dado é apenas o universo (os reais) e a equação
. A tarefa é decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Entendendo o quantificador existencial
: para que
seja verdadeira basta apresentar um exemplo concreto
que satisfaça
. Se não existisse nenhum real com essa propriedade, a afirmação seria falsa. Assim a estratégia mais direta é tentar encontrar um
que satisfaça a equação.
Passo 3
Propriedade útil sobre quadrados de reais: para todo real
vale
. Explicando por etapas:
- Se
então porque produto de não-negativos é não-negativo. - Se
então e .
Portanto, qualquer quadrado de real é não-negativo. Além disso, a única maneira de um quadrado ser zero é quando o próprio número é zero: seentão necessariamente . Uma prova simples disso é: suponha . Se , multiplicando ambos os lados por (existente porque ) obteríamos , contradição; logo .
Passo 4
Verificar diretamente que
resolve a equação: calcular
Logo
é um número real que satisfaz
.
Passo 5
Concluindo: existe pelo menos um real (especificamente
) tal que
. Portanto a sentença existencial é verdadeira.
Resposta
V