Determine o valor lógico ( V ou F ) considerando o universo dos números reais.
\exists x, x^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade, no universo dos números reais, da sentença lógica
\exists x,\\ x^{2}=0.
Isso significa: “Existe pelo menos um número real x tal que x^{2}=0?” O que nos foi dado é apenas o universo (os reais) e a equação x^{2}=0. A tarefa é decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 2

Entendendo o quantificador existencial \exists: para que \exists x,\\ x^{2}=0 seja verdadeira basta apresentar um exemplo concreto x\in\mathbb{R} que satisfaça x^{2}=0. Se não existisse nenhum real com essa propriedade, a afirmação seria falsa. Assim a estratégia mais direta é tentar encontrar um x que satisfaça a equação.

Passo 3

Propriedade útil sobre quadrados de reais: para todo real x vale \,x^{2}\ge 0. Explicando por etapas:
  • Se x\ge 0 então x^{2}=x\cdot x\ge 0 porque produto de não-negativos é não-negativo.
  • Se x<0 então -x>0 e (-x)^{2}=(-x)(-x)=x^{2}\ge 0.
    Portanto, qualquer quadrado de real é não-negativo. Além disso, a única maneira de um quadrado ser zero é quando o próprio número é zero: se x^{2}=0 então necessariamente x=0. Uma prova simples disso é: suponha x^{2}=0. Se x\neq0, multiplicando ambos os lados por 1/x (existente porque x\neq0) obteríamos x=0, contradição; logo x=0.

Passo 4

Verificar diretamente que x=0 resolve a equação: calcular
0^{2}=0\cdot 0=0.
Logo x=0 é um número real que satisfaz x^{2}=0.

Passo 5

Concluindo: existe pelo menos um real (especificamente x=0) tal que x^{2}=0. Portanto a sentença existencial é verdadeira.

Resposta

V

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