Determine o valor lógico ( V ou F ) considerando o universo dos números reais.
.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o problema pede e o que temos. O enunciado dá a afirmação lógica
com universo dos números reais. A pergunta é: qual é o valor lógico dessa afirmação — verdadeira (V) ou falsa (F)?
Passo 2
Entender o quantificador e o objetivo. O símbolo
significa "para todo
". Portanto precisamos verificar se, para qualquer número real escolhido, a desigualdade
é verdadeira. Uma maneira padrão é pegar um
arbitrário e mostrar que a desigualdade vale para esse
; se isso funcionar sem depender de propriedades especiais de
, vale para todos.
Passo 3
Lembrete sobre propriedades de desigualdades que vamos usar (explicando com carinho). Uma propriedade importante dos números reais é:
seja . Então
seja
Ou seja, somar o mesmo número
aos dois lados de uma desigualdade preserva a relação. A consequência prática: podemos “subtrair” (somar o oposto) do mesmo modo: se
então
. Essa propriedade permite simplificar desigualdades ao eliminar termos iguais nos dois lados.
Passo 4
Aplicar essa propriedade ao nosso caso. Pegue
arbitrário. A desigualdade que queremos verificar é
Subtraindo
dos dois lados (ou somando
) e usando a propriedade do passo anterior, obtemos uma desigualdade equivalente:
Agora simplificamos os termos:
e
. Logo a desigualdade equivalente é
Passo 5
Mostrar que
é verdadeira nos reais. Uma justificativa simples e rigorosa: para qualquer real
vale
(quadrados são não negativos). Tomando
obtemos
, isto é,
. Além disso
(a unidade multiplicativa não é o zero), então necessariamente
. Assim a desigualdade
é verdadeira.
Passo 6
Concluir a equivalência. Vimos que, para um
arbitrário,
é equivalente à afirmação verdadeira
. Portanto
vale para todo
. Como isso vale para qualquer
, a afirmação universal
é verdadeira.
Resposta
V