Determine o valor lógico ( V ou F ) considerando o universo dos números reais.
\forall x, x+1>x.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o problema pede e o que temos. O enunciado dá a afirmação lógica
\forall x,\; x+1>x,
com universo dos números reais. A pergunta é: qual é o valor lógico dessa afirmação — verdadeira (V) ou falsa (F)?

Passo 2

Entender o quantificador e o objetivo. O símbolo \forall x significa "para todo x\in\mathbb{R}". Portanto precisamos verificar se, para qualquer número real escolhido, a desigualdade x+1>x é verdadeira. Uma maneira padrão é pegar um x arbitrário e mostrar que a desigualdade vale para esse x; se isso funcionar sem depender de propriedades especiais de x, vale para todos.

Passo 3

Lembrete sobre propriedades de desigualdades que vamos usar (explicando com carinho). Uma propriedade importante dos números reais é:
seja a,b,c\in\mathbb{R}. Então
a>b \quad\Longleftrightarrow\quad a+c>b+c.
Ou seja, somar o mesmo número c aos dois lados de uma desigualdade preserva a relação. A consequência prática: podemos “subtrair” (somar o oposto) do mesmo modo: se a+c>b+c então a>b. Essa propriedade permite simplificar desigualdades ao eliminar termos iguais nos dois lados.

Passo 4

Aplicar essa propriedade ao nosso caso. Pegue x\in\mathbb{R} arbitrário. A desigualdade que queremos verificar é
x+1>x.
Subtraindo x dos dois lados (ou somando -x) e usando a propriedade do passo anterior, obtemos uma desigualdade equivalente:
(x+1)-x > x-x.
Agora simplificamos os termos: (x+1)-x = 1 e x-x=0. Logo a desigualdade equivalente é
1>0.

Passo 5

Mostrar que \,1>0 é verdadeira nos reais. Uma justificativa simples e rigorosa: para qualquer real y vale y^2\ge 0 (quadrados são não negativos). Tomando y=1 obtemos 1^2\ge 0, isto é, 1\ge 0. Além disso 1\neq 0 (a unidade multiplicativa não é o zero), então necessariamente 1>0. Assim a desigualdade 1>0 é verdadeira.

Passo 6

Concluir a equivalência. Vimos que, para um x arbitrário, x+1>x é equivalente à afirmação verdadeira 1>0. Portanto x+1>x vale para todo x\in\mathbb{R}. Como isso vale para qualquer x, a afirmação universal \forall x,\;x+1>x é verdadeira.

Resposta

V

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