Exercício 1.10. Considere a seguinte regra de aprovação em uma disciplina: “Para ser aprovado, o aluno deve ter média maior ou igual a 6.0 e frequência maior ou igual a 75 \%.”
Utilizando as Leis de De Morgan, escreva a sentença que define quando um aluno não é aprovado (ou seja, a negação dessa regra).

Passo 1

O enunciado dá uma regra de aprovação e pede a negação dessa regra usando as Leis de De Morgan. Informações fornecidas:
  • Condição sobre a média: a média do aluno deve ser maior ou igual a 6{,}0.
  • Condição sobre a frequência: a frequência do aluno deve ser maior ou igual a 75\%.
  • Regra de aprovação (em palavras): “Para ser aprovado, o aluno deve ter média maior ou igual a 6{,}0 e frequência maior ou igual a 75\%.”
    O que se pede: escrever a sentença lógica que define quando um aluno não é aprovado (ou seja, a negação da regra acima), preferencialmente usando as Leis de De Morgan.

Passo 2

Vamos formalizar as duas condições com proposições simples para ficar claro:
  • Seja p a proposição: "a média do aluno é maior ou igual a 6{,}0". Em símbolos: p:\\ \text{média} \ge 6{,}0é.
  • Seja q a proposição: "a frequência do aluno é maior ou igual a 75\%". Em símbolos: q:\\ \text{frequência} \ge 75\%ê.

Passo 3

Escrever a regra de aprovação com essas proposições. A frase “média … e frequência …” é uma conjunção lógica entre p e q. Em símbolos:
\text{(aprovado)} \iff p \land q.
Isto significa: o aluno é aprovado exatamente quando p \land q é verdadeiro (ou seja, quando ambas as condições são verdadeiras).

Passo 4

O que queremos é a negação dessa regra: a condição para “não aprovado” é a negação de p \land q, isto é \neg(p \land q). Agora aplicamos as Leis de De Morgan para simplificar a negação de uma conjunção.
Leis de De Morgan (forma útil aqui):
\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q.
Explicação intuitiva: a negação de “A e B” é “não A ou não B” — para que a conjunção deixe de ser verdadeira, basta que pelo menos uma das parcelas falhe.

Passo 5

Aplicando diretamente:
\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q.
Agora substituímos \neg p e \neg q pelos seus significados numéricos:
  • \neg p é "a média do aluno NÃO é maior ou igual a 6{,}0", ou seja \text{média} < 6{,}0é.
  • \neg q é "a frequência NÃO é maior ou igual a 75\%", ou seja \text{frequência} < 75\%ê.
Portanto, em termos práticos:
\neg(p \land q) \equiv (\text{média} < 6{,}0) \lor (\text{frequência} < 75\%).éê

Passo 6

Interpretação em linguagem natural (frase final simples e direta): o aluno não é aprovado se ele tiver média menor que 6{,}0 OU tiver frequência menor que 75\% (basta que uma dessas condições falhe para não ser aprovado). Alguns exemplos rápidos para fixar:
  • média 5{,}5, frequência 80\% → não aprovado (porque média <6{,}0).
  • média 6{,}2, frequência 70\% → não aprovado (porque frequência <75\%).
  • média 6{,}5, frequência 80\% → aprovado (nenhuma das condições falha).
  • média 5{,}0, frequência 60\% → não aprovado (ambas falham, também satisfazendo a disjunção).

Resposta

\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q
(\text{média} < 6{,}0)\\ \lor\\ (\text{frequência} < 75\%)éê

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